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1、最全“将军饮马”类问题 类型大全 +分类汇编1. 如图，直线l和 l的异侧两点 A、B，在直线 l上求作一点 P，使PA+PB最小；2. 如图，直线 l和 l的同侧两点 A、B，在直线 l上求作一点 P，使 PA+PB最小；3. 如图，点 P是 MON内的一点，分别在OM，ON 上作点 A ， B；使 PAB的周长最小4. 如图，点 P ，Q 为 MON内的两点，分别在OM，ON 上作点 A ， B；使四边形 PAQB的 周长最小；5. 如图，点 A是 MON外的一点，在射线OM 上作点 P ，使 PA 与点 P到射线 ON 的距离之和最小6. .如图，点 A 是 MON内的一点，在射线OM
2、上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小二、常见题型三角形问题1 如图，在等边 ABC 中， AB = 6 ， AD BC，E 是 AC 上的一点， M 是 AD 上的一点，如AE = 2 ，求 EM+EC的最小值A解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点B，A连接 BE，交 AD 于点 M ，就 ME+MD最小，过点 B 作 BH AC 于点 H，E就 EH = AHAE = 3 2 =1 ，EMHBH =BC2 - CH2=62 - 32 = 33在直角BHE 中， BE =BH2 + HE2B=332 + 12 = 27MDCBDC2如图，在锐角 ABC 中， AB
3、= 42 ，BAC 45 ，BAC 的平分线交BC 于点 D，M 、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，就 BM+MN的最小值是C解：作点 B 关于 AD 的对称点 B，B过点 B 作 BEAB 于点 E，交 AD 于点 F，就线段 BE 的长就是BM 的最小值在等腰 Rt AEB 中， 依据勾股定理得到，BE= 4MFDAN EB3 如图，ABC 中， AB=2 ， BAC=30 ，如在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使 BM+MN的值最小，就这个最小值C解：作 AB 关于 AC 的对称线段 AB ，过点 B 作 BN AB ，垂足为 N ，交 AC 于点 M ，就 BN = MB+M
4、N = MB+MNBN 的长就是 MB+MN的最小值就BAN = 2BAC= 60 ，AB = AB = 2，ANB= 90，B = 30 ；AN = 1在直角ABN 中，依据勾股定理BN =3MA30BN2BCMA30 N2B正方形问题1 如图，正方形ABCD 的边长为 8， M 在 DC 上，丐 DM 2 ，N 是 AC 上的一动点， DN MN 的最小值为_；即在直线 AC 上求一点 N ，使 DN+MN最小AD解：故作点D 关于 AC 的对称点B，连接 BM ，交 AC 于点 N ；就 DN BN NM线段的长就是DN 的最小值在直角中，就故 DN 的最小值是BC2 如下列图，正方形A
5、BCD 的面积为 12 ，ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD内，在对角线AC 上有一点 P，使 PD PE 的和最小，就这个最小值为（）A 23B 26C 3D 6AD解：即在 AC 上求一点 P，使 PE+PD 的值最小E点 D 关于直线 AC 的对称点是点B，连接 BE 交 AC 于点 P，就 BE = PB+PE = PD+PE，PBE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 23BC3在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点P 为对角线 AC 上一动点，连接PB、PQ ，就PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）.解：在 AC 上求一
6、点 P，使 PB+PQ 的值最小AD点B 关于 AC 的对称点是D 点，连接 DQ ，与 AC 的交点 P 就是满意条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQP故 DQ 的长就是 PB+PQ 的最小值在直角CDQ 中， CQ = 1，CD = 2依据勾股定理，得，DQ =5BQC4 如图，四边形ABCD 是正方形，AB = 10cm， E 为边 BC 的中点， P 为 BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；解：连接 AE，交 BD 于点 P，就 AE 就是 PE+PC 的最小值AD在直角ABE 中，求得 AE 的长为 55BEC矩形问题1如图，如四边形 ABCD 是矩形， AB = 1
7、0cm ，BC = 20cm ，E 为边 BC 上的一个动点， P 为 BD 上的一个动点，求PC+ PD 的最小值；C解：作点 C 关于 BD 的对称点 C ，过点 C，作 CBBC ，交 BD 于点 P，就 CE 就是 PE+PC 的最小值直角BCD 中， CH =20AD5HP直角BCH 中， BH = 85BCC 的面积为： BH CH = 160EBC CEBC = 2 160就 CE = 16菱形问题1如图，如四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm ，ABC=45 ，E 为边 BC 上的一个动点， P 为 BD 上的一个动点，求PC+PE的最小值；A解：点 C 关于 BD 的对
8、称点是点A， 过点 A 作 AE BC，交 BD 于点 P，就 AE 就是 PE+PC 的最小值BP在等腰EAB 中，求得 AE 的长为 52D EC梯形问题1 已知直角梯形ABCD 中， AD BC， AB BC ，AD =2 ， BC= DC =5 ，点 P 在 BC 上秱动，就当PA+ PD 取最小值时，APD 中边 AP 上的高为（）A、 2B、 417C、8D、3AD1717171717解：作点 A 关于 BC 的对称点 A ，连接 AD ，交 BC 于点 P就 AD = PA+PD =PA+PDAD 的长就是 PA+ PD 的最小值SAPD = 4在直角ABP 中， AB = 4
9、， BP = 1 依据勾股定理，得AP =17BPC4AP 上的高为： 2=1781717A圆的有关问题1 已知 O 的直径 CD 为 4，AOD 的度数为 60 ，点B 是 AD 的中点，在直径CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值解：在直线CD 上作一点 P，使 PA+ PB 的值最小A作点 A 关于 CD 的对称点 A ，连接 AB ，B交 CD 于点 P，就 AB 的长就是 PA+ PB 的最小值连接 OA ，OB ，就AOB=90，CDOA = OB = 4OP依据勾股定理，AB = 42A2如图， MN 是半径为 1 的 O 的直径，点 A 在 O
10、 上，AMN 30 ，B 为 AN 弧的中点， P 是直径 MN 上一动点，就PAPB 的最小值为 A22B2C1D 2A解： MN 上求一点 P ，使 PA+PB 的值最小作点 A 关于 MN 的对称点 A ，连接 AB ，交 MN 于点 P，B就点 P 就是所要作的点AB 的长就是 PA+PB 的最小值MNOP连接 OA 、OB ，就OAB 是等腰直角三角形 AB =2A一次函数问题20 一次函数 y=kx+b的图象与 x、y 轴分别交于点A（2，0），B（0，4）（ 1）求该函数的解析式；（ 2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C、D ，P 为 OB 上一动点，求PCPD 的
11、最小值，并求取得最小值时P 点坐标解： 1 由题意得： 0 = 2x+b，4 = b解y得 k = -2 ， b= 4 ， y = -2x+4B2 作点 C 关于 y 轴的对称点C ，连接 CD ，交 y 轴于点 P就 CD = CP+PD = PC+PDCD 就是 PC+PD 的最小值D连接 CD ，就 CD = 2 ，CC = 2在直角CCD 中，依据勾股定理CD = 22 求直线 CD 的解析式，由C-1 ，0 ，D1 ， 2，有 0 = -k+b，2 = k+b解得 k = 1 ，b = 1 ， y = x+1当 x = 0时， y =1 ，就 P0，1PxCOCA二次函数问题1 如图
12、，在直角坐标系中，点A 的坐标为（ -2 ，0），连结 0A ，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转120 ；，得到线段 OB.（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（ 3）在（ 2 ）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC 周长最小？如存在求出点C 坐标；如不存在，请说明理由. 解：1B1 ，3 y(2) y =323x2 +x33B(3) 点 O 关于对称轴的对称点是点A ，就连接 AB， 交对称C轴于点 C，就BOC 的周长最小xAO3233y =x2 + 3x ， 当 x=-1时， y =333C-1 ， 32 如图，在直角坐标系中，A ， B， C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过 A， B， C 三点的抛物线的对称轴为直线 l，D 为直线 l 上的一个动点，(1) 求抛物线的解
