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1、转化数学解题的桥梁 作者： 日期：转化数学解题的桥梁浙江省上虞中学312300谢全苗客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化反映在数学上的转化思想就是从条件出发，联想已经学过的知识、方法，盯着目标设法实施有效的转化，在条件和结论之间架起一座合理化归的桥梁事实上，解题的过程就是从题目的条件不断向解题目标变形、靠近的过程因此，利用目标导航，进展灵活转化是让解题思路来得自然的重要途径“数学家们也往往不是对问题进展正面攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题 匈牙利数学家路莎彼得语所以，学习、掌握数学家们这种把新问题转化为已经解决的问题的思维策略是十分必要的下面通过具体实例从四个
2、层面上介绍如何利用转化思想实现问题解决1 掌握转化思想，提高转化的自觉性思想，无论是社会科学范畴，还是自然科学范畴，都是在长期实践中悟出的高层次的观念性的事物规律数学解题中的转化思想就是师生在长期的数学教与学中，在知识、方法的不断学习与反复应用中提炼出来的认知数学、处理问题的根本观点如在解方程、解不等式的过程中总是把超越式化为代数式、无理式化为有理式、分式化为整式、多元式化一元式、高次化为低次；在立体几何中常把空间问题化为平面问题，逐渐悟出数学中常把新转化为旧，复杂转化为简单这一数学解题的规律，一旦悟出这些高度概括的数学思想，人们会由自在变为自觉，在处理问题时会主动、自觉地运用、调动各种方法与
3、手段去贯彻、实现这种思想，解决面临问题例1 假设正数、满足，那么的取值范围是1999年全国高考题分析：此题虽有多种解法，但假设由，想直接推出的取值范围是走不通的，要是掌握了转化思想，就会自觉地去转化因为这里是求的范围，所以需要构造含有的不等式，对此，由于、是正数，显然成立，当且仅当时取等号这就很快地把等式转化为关于的不等式，这是关键的一步解不等式得或舍去，即的取值范围是，例函数，假设，且，证明：199年全国文科高考题分析：此题是一道三角不等式的证明问题，假设想从左向右证，我们须完成两个转化：把两个分散的单角转化为和角，这只能借助和角公式或积化和差与和差化积公式；进展函数值的缩小转化，这需借助三
4、角函数的值域性质朝着以上认定的变形方向展开思维，首先想到“切化弦并通分的变形因为关于弦函数的公式比切函数丰富得多，得用和差化积与积化和差公式，得想把此式经过缩小变形化为2比拟此二式想到：应消失；和角应转化为半角由此联想起余弦函数的取值性质和正切函数的半角公式，发现，且，至此证明思路打通，归纳整理后，证明如下：，且，且，即2 注重转化研究，实行转化的多样性并非所有的问题只要一审题，就来了正确的思路，许多问题的思路都是对问题的条件和结论的不断转化中化出来的而转化具有多样性、层次性和重复性的特点为了实现有效的转化既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部构造，又可以变换问题的外
5、部形式，这就是转化的多样性，只有注重转化研究，才能实行转化的多样性 例3设，且求证： 分析：在条件中虽没有直接的目标式：“，一审题，是很难一下就来正确思路的如果我们能对问题的条件和结论进展转化，解题的思想就在这种不断转化中化出来了，由，得将 配方产生目标“不妨设，有即再将向目标“转化，自然想到，于是，有，即，解得如何证明，那么又是一个解题目标事实上，由，知，即，而，例4 如图梯形中=2, 点分有向线段所成的比为，双曲线过、三点,且以,为焦点，当时，求双曲线的离心率的取值范围.(2000年全国高考试题)分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些根底不错的考生也没了头绪，这不但是
6、由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率的取值范围，再加上大家期望要用上的条件：中的，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点分有向线段所成的比这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地，从不同的视角下进展有效的转化：他们首先从审题后看到题设中既无坐标又无方程，因此，就用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图以的垂直平分线为轴, 以所在的直线为轴,建立直角坐标系,那么轴. 因为双曲线过、,且以,为焦点,由双曲线的对称性知、关于轴对称，并设双曲线方程为=1 (0,0), 那么离心率=在做好这一根底性工作的前题下，如何由的范围来求的范围就成了解决此题的思
7、维核心，他们看到在此题这个双参数问题中，和既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考察学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考察辩证思维的绝妙押轴题这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高低的分水岭因此，他们根据的范围这一条件，进而确立：先视为主元，再视为主元，找出两个参数之间的关系=，将问题转化归为范围，再解不等式，由此求出参数的范围这样一个整体的思路和思维策略 于是，他们先视为主元，找的关系式：依题意，记 (,0 ) , (,)，(,)，其中=为双曲线的半焦距，是梯形的高.由定比分
8、点公式得：= ， =但在如何再视为主元，找出两个参数之间的关系=上，是又一次表达思维水平的层次性和思维策略的重要性视角一：视点、为直线与双曲线的交点，这时，虽能把方程代入=1得：这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了视角二：视点、在双曲线上，将、的坐标和=代入双曲线的方程,得=1 =1 由得：= 1 将式代入式整理得: (4)=1+2, 故得=1 .由题设 , 得 1 ,故得 . 所以双曲线的离心率的取值范围是.视角三：视、为点、E到焦点的距离，由焦半径公式得：，而、同号，从而所以由题设 , 得 1 ,
9、故得 . 所以双曲线的离心率的取值范围是.这里同是、二点，但由于解题思维策略的运用，从不同的视角出发，使解题中具体的转化的切入点和解题的方向各不一样，对同一问题解答所用的知识、方法和也不同，其中视角二下的方法比拟简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近上下无一同3 遵循转化的原那么性，做到解题的简捷性运用转化思想应遵循如下原那么：熟悉化原那么，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟悉的知识、经历和问题来解决简单化原那么，将复杂的问题转化为简单问题，通过对简单问题的解决，到达解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据和谐化原那么，转化问
10、题的条件和结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律直观化原那么，将比拟抽象的问题转化为比拟直观的问题来解决这些转化的原那么既可应用于沟通数学各分支学科的联系，又可从宏观上实现学科间的转化，能调动各种方法与技术，并从微观上解决多种具体问题，最终到达解题的简捷性例椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是分析：此题虽不大，也可采用解析法，设动点坐标，列不等式来解，但计算量太大如果我们抓住临界值角这一关键，就可实现在宏观上将一般情况转化特殊情况，在微观上将钝角转化直角，将不等式转化为方程，从而可得下
11、如简捷解法：假设为直角，那么点在以为直径的圆上，由圆和椭圆的方程得：得由图知点的横坐标的取值范围是：例 对任何-2，2，函数总小于，求的取值范围分析：函数，当时是的二次函数，由-2，2不容易求出的取值范围而反客为主，视参量次变量为变量主变量，那么原式就转化为关于的一次函数，且范围又，对应的是一条线段，问题就变得容易求解令，在-2，2时，0恒成立那么0，即0且0，即0解得：例 方程的三个实根可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率求的范围；假设椭圆以坐标轴为对称轴，短轴长为，且有在椭圆上，试求椭圆的长轴长的范围2006年黄岗最后冲刺测试题21题分析：抛物线的离心率为，方程的一个实根为1，即
12、有 ，依题意知方程有大于小于的根与一个大于的根那么有即在平面直角坐标系内，所表示的平面区域为图中的阴影局部其中点的坐标为，这样就可将求的范围转化为求平面区域内的点与原点的连线所在的直线的斜率的取值范围由图可知依据椭圆的图形特征及所给的条件，椭圆的焦点不可能在轴上故可设的方程为，因区域内有点在上，即椭圆与点表示的区域有公共点故只要点在椭圆内部即可，即故椭圆的长轴长应大于例ABC的三内角、满足：，求的值199年全国高考题分析：这是一道三角形中的条件求值问题根据题目的条件与目标的构造特点，解答此题的根本想法可以是：将其他条件代入条件方程，然后运用恒等变形的方法和方程观点进展转化，从中解出目标来由AB
13、C中，代入条件方程式，整理，得观察并朝着目标方向思考，想到用和差化积公式可把方程左端转化为，目标出现了，而右端用积化和差公式可转化为；且二倍角公式能把左边与右边相勾通，又左边与右边能求出，故可由解二次方程求出！解答略“聪明的人从结果开场波利亚语，此题是用解题目标给自己转化的思路导航是最为自然不过的，这对灵活转化是最为有效和重要的 4 重视转化的等价性，提高解题的正确性因为转化是从不同的角度和特征出发，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来，而且这种转化在实际解题中要屡次地使用，这种转化的层次性多样性和重复性就影响到转化的等价性假设是等价转化，那么所得的解就是原问题的解，数学中之所以特别重视充要条件
