. 第四节：年龄问题 年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键年龄问题的类型：⑴转化为和差问题的年龄问题； ⑵转化为和倍问题的年龄问题； ⑶转化为差倍问题的年龄问题．在一些数学问题中要讨论年龄的变化和几个人的年龄的关系，我们知道随着时间的往后或往前推移，人的年龄就会增加或减少，如果有几个人，时间往后推移，几个人年龄的和随着年数增加而增加年数的几（按人数）倍，但这几个人年龄间的差却是不变的在解答有关年龄变化的问题时这是必须牢记的例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？⑴ 父子年龄的差是多少？ 54 – 18 = 36（岁）⑵ 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？ 7 - 1 = 6⑶ 几年前儿子多少岁？ 366 = 6（岁）⑷ 几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍？ 18 – 6 = 12 (年) 答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。
例1：小华今年12岁，他妈妈今年48岁，多少年以前妈妈的年龄是小华的5倍？多少年以后妈妈的年龄是小华的3倍？ 解：首先，不管是今年或今年前、今年后的若干年，小华和他妈妈年龄的差都是一样的，妈妈的年龄比小华大48－12=36（岁）当妈妈的年龄是小华的5倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的5份，比小华多5－1=4（份），所以那时小华是：364=9（岁），是在今年前12－9=3（年）当妈妈的年龄是小华的3倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的3份，比小华3－1=2（份），所以那时小华是：362=18（岁），是在今年后18－12=6（年）答：3年以前，妈妈的年龄是小华的5倍，6年以后，妈妈的年龄是小华的3倍例2：小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁今年三人各是多少岁？解：一家人年龄的和今年与10年前比较增加了72－44=28（岁），而如果按照三人计算10年后应增加310=30（岁），只能是小芬少了2岁，即小芬8年前出生，今年是8岁，今年父亲是（72－8＋4）2=34（岁），今年母亲是34－4=30（岁）。
答：今年父亲34岁，母亲30岁，小芬8岁例3：父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子今年11岁，多少年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍？解：今年父母年龄之和为38＋36=74（岁），儿子年龄的4倍是44岁，今年父母年龄之和比儿子年龄的4倍多74－44=30（岁），而每过一年父母年龄增加2岁，过一年儿子年龄增加数的4倍为4岁，就是说每过一年父母年龄的增加比儿子年龄增加数的4倍少4－2=2（岁），当父母年龄之和为儿子年龄的4倍时，要过302=15（年）答：15年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍 例4：今年老师的年龄是小华年龄的5倍，过8年，老师的年龄是小华年龄的3倍，小华今年多少岁？解：今年老师的年龄是小华年龄的5倍，是把今年小华年龄的作为1份，今年老师的年龄是这样的5份，老师今年的年龄比小华多5－1=4（份），过8年，老师的年龄是小华年龄的3倍，是把那时小华的年龄作为1份，老师那时的年龄是这样的3份，老师那时的年龄比小华多3－1=2（份）今年和过8年后老师与小华年龄差的岁数是一样的，因此过8年的1份是今年的42=2（份），那么，今年的1份的岁数是8（2－1）=8（岁），就是今年小华8岁。
答：今年小华8岁例5：今年大华20岁，大明18岁，小芬12岁，小玲8岁，多少年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍？解：今年大华、大明年龄的和的2倍是（20＋18）2=76（岁），小芬、小玲年龄的和的3倍是（12＋8）3=60（岁），大华、大明年龄的和的2倍比小芬、小玲年龄的和的3倍多76－60=16（岁），而每过一年，大华、大明增加年龄的和的2倍比小芬、小玲增加年龄的和的3倍少23－22=2（岁），使大华、大明年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍，过的年数是162=8（年）答：8年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍例6：小云问老师今年多少岁老师说：“当我像你这么大的时候，你只有3岁，当你像我这么大的时候，我已经39岁了老师今年多少岁？解：把小云和老师年龄的变化情况画成下面的线段图：老师比小云大的岁数用1个“→”所指的线段表示，当老师的年龄往回推移到小云今年的年龄时，推移了这样的一段，小云的年龄也同样往回推移这样的一段，这样小云只有3岁；当小云的年龄往后推移这样一段到老师今年的年龄时，老师的年龄也往后推移这样的一段，这样，老师就有39岁从图中看到39岁比3岁多了3个这样的一段，每段（就是两人的年龄差）是（39－3）3=12（岁），老师今年的年龄是39－12=27（岁）。
答：老师今年27岁第五节：盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： 总数量=每次分配的数量份数+盈总数量=每次分的数量份数-亏①一次有余数，另一次不足(一盈一亏)； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）两次每份数的差②当两次都有余数（双盈）； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）两次每份数的差③当两次都不足（双亏）； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数板块一、直接计算型盈亏问题例1：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？解析：比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员（人）．共有砖：（块）．例2：（年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分个，小猴分个，猴王可留个．若大、小猴都分个，猴王能留下个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．解析：当大猴分个，小猴分个时，猴王可留个．若大、小猴都分个，猴王能留下个．也就是说在大猴分个，小猴分个后，每只大猴都拿出个，分给每只小猴个后，还剩下个，所以大猴比小猴多只．例3：某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?[解析] 由已知条件 每间5人 少14个床位 每间7人 多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住人，一共要多出 个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数． 解： 解：(间)(人)，或(人)板块二、条件关系转换型盈亏问题例4：猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？解析猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是（条），由盈亏问题公式得，有小猫：（只），猫妈妈有（条）鱼．例5：甲、乙两人各买了一样数量的信封与一样数量的信纸，甲每封信用2 信纸，乙每封信用3 信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少信纸？[解析] 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)信纸， 两次分配的差为(3－2)信纸，所以有信封(20＋30)(3－2)＝50(个)，有信纸250＋20＝120()．例6：幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。
如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？解析:先把大班人数和小班人数转化为一样大班减少3人，则苹果又收回个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为：人，苹果总数是个例7：有一些糖，每人分块则多块，如果现有人数增加到原有人数的倍，那么每人块就少两块，这些糖共有多少块？解析:第一次每人分块，第二次每人分块，可以认为原有的人每人拿出块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到块糖果，这些人每人还差块，一共差了块，所以新增加了人，原有人．糖果数为：(块)．例 8：四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任老师买了一些铅笔和橡皮．老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? [解析] 如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：153=45(块)，铅笔数为：156—10=80(支)．第六节：周期循环数周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期关键问题：确定循环周期闰 年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平 年：一年有365天①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除.例1：a是大于0的整数，aaa的个位数字与a的各位数字一样，例如111＝1，444＝64，这样的整数a有很多，如果把它们从小到大排列，第41个这样的整数是多少？分析与解：符合条件a的整数是根多，要找出第41个这样的整数，从发现的规律中去找，规律的发现又要从较小数中依次去找，我们不妨从1～10这10个数中去找：111＝1222＝8333＝27444＝64555＝125888＝512999＝729101010＝1000不难发现，上面这些算式中，1、4、5、6、9、10这六个数具有aaa的各位数字一样，也就是在1～10中，又6个符合条件的数，三个一。