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1、优秀学习资料欢迎下载弹性力学试题参考答案一、填空题（每道题 4 分）1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平稳微分方程， 应力边界条件；2一组可能的应力重量应满意：平稳微分方程，相容方程（变形和谐条件）；3等截面直杆扭转问题中， 截面内的扭矩M；2dxdyDM 的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆4平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点 （基准点）到任一点外力的矩；5弹性力学平稳微分方程、几何方程的张量表示为：ij , jX i0，ij1 ui, j2u j ,i ；二、简述题 （每道题6 分）1试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析
2、中的作用；圣维南原理：假如物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效 的面力（主矢与主矩相同），就 近处的应力 分布将有 显著的转变 ，但 远处的应力 所受 影响可以忽视不计；作用：（ 1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替；（ 2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理；2图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分别变量形式； x, y（a）ax2bxy2cy2题二（ 2）图 x, y（ b）ax 3bx 2 y3cxy2dy3 r,rf r ,rf 3图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比
3、已知；试求薄板面积的转变量S ；优秀学习资料欢迎下载题二（ 3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ；由1 12Eq 得，la 2b 2qa 2Eb1设板在力P 作用下的面积转变为S ，由功的互等定理有：将l 代入得：qSPlS1Pa 2b 2E明显，S 与板的外形无关，仅与E、l 有关；4图示曲杆，在rb 边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P；试写出其边界条件（除固定端外） ；（ 1）（ 2）r r bq,r r a0,rr brr a题二（ 4）图0 ；0b（ 3）ab adrr d rbP cosaP c o s ab2rdrP sin5试简述拉甫（L
4、ove ）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love 、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数数、重调和函数；u x, y, v x, y, w x, y或 u r r, ur , 为求一些特别函数，如调和函（2）变求多个函数为求单个函数（特别函数）；适用性： Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题；三、运算题优秀学习资料欢迎下载1图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，如梁的正应力x 由材料力学公式给出，试由平稳微分方程求出
5、xy ,y ，并检验该应力重量能否满意应力表示的相容方程；（ 12 分）解：（ 1）求横截面上正应力xq03题三（ 2）图h 3任意截面的弯矩为M6l x，截面惯性矩为I，由材料力学运算公式有12My2q 0xIlh 3x3 y（ 1）（2）由平稳微分方程求xy 、y平稳微分方程：xxyX0xyY0yxyxy23其中， X0,Y0 ；将式（ 1）代入式（ 2），有xy6q0ylh 3x 2 y积分上式，得利用边界条件：xy yh 20 ，有3q0xylh 3x 2 y2f 1 x33q 0x2 h 2f x0即f x3q0x 2 h 24lh 3114lh3q0xylh 3x2 y 21 h
6、2 4（ 4）将式（ 4）代入式（ 3），有优秀学习资料欢迎下载6q 0lh 3x y 21 h 2 y0或4yy6q0ylh 3x y 21 h 2 4积分得6 q0ylh 3x y331 h 2 y4f 2 x利用边界条件：y yh 2q0lx ，y yh02得：6q0 lh 36q03hx24h311 h3 83f 2 xq0 x l由其次式，得将其代入第一式，得lh 3f2 xx 248 h q0 x 2lf 2 x0q0 x 2lq0 x 2lq0 x l自然成立；将 f 2 x 代入y 的表达式，有36 q0 x y1 h 2 yq0 x（ 5）ylh 3342l所求应力重量的结果
7、：MyxI3q0xylh 32 q0lh 3x 2 y 2x3 y1 h2 4（6）36q0 x y1 h2 yq0 xylh 3342l校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0 ）：h2xdyh0 ，2xydy0代入后可见：自然满意；hx 02hx 02（2）梁右端的边界（x = l ）：优秀学习资料欢迎下载h2dyh2q x320ydy0hx x l 2h2dyh 22h 3qlh 3x20x l2 y 2hdyq0 lhxy x l 2h3422lhx lh22ydyh2q32x0lhy 2dyh32q0l3 2yq 0lMhx x l 2h32x l3lh 3h62可见，全
8、部边界条件均满意；检验应力重量x ,xy ,y 是否满意应力相容方程：常体力下的应力相容方程为2xy 2x222 xyy 0将应力重量x ,xy ,y 式（ 6）代入应力相容方程，有212q0212q02 xy xlh 3xy ，2 xy ylh 3xy2xy 2x22y2 xy 24q0lh 3xy0明显，应力重量x ,xy ,y 不满意应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解；2一端固定， 另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度 EI 为常数， 梁端支承弹簧的刚度系数为k；梁受有匀称分布载荷q 作用，如下列图；试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数wx ；（2
9、）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1 项待定系数） ；（ 13 分）题二（ 3）图13解：两种形式的梁挠度试函数可取为wxx2 AA2 xA x2多项式函数形式优秀学习资料欢迎下载wxnAm 1m 1cos 2 m x l三角函数形式此时有：w xw xx2 A 2 x AA2 x A x3A x 21A x 20x 0x2 AA x0w x1nAm 1m 12323x 0cos 2mx0lx0w xnlAmm 12msin 2mx0lx0即满意梁的端部边界条件；梁的总势能为2221 l EIdwdxl qw xdx1 k wl 21取： w xA x2 ，有20dx021代入总势能运算式，有d 2 wdx 22 A1， wl A l 21l2EI 2A1 dx 2 0l qx 20A1dx1k A1l22 21由0 ，有2 EIlA 2qA1 l 331 kA2 l 4124EIlA1kA l 4q l 3031Aq0l1
