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1、目录 上页 下页 返回 结束 第七、八、九节2021/7/221目录 上页 下页 返回 结束 一、方向导数定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.在点 处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 2021/7/222目录 上页 下页 返回 结束 定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故2021/7/223目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：2021/7/224目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义即同样可定义二元函
2、数称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子或 Nabla算子.( 为方向l 上的单位向量)2021/7/225目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度的几何意义称为函数 f 的等值线或等高线 . 则L*上点P 处的法向量为 举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样, 的等值面(等量面). 当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为称为时为零时, 2021/7/226目录 上页 下页 返回 结束 等高线图举例这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线
3、图, 带阴影的等高线图中, 亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图2021/7/227目录 上页 下页 返回 结束 例. 设函数解: (1) 点P处切平面的法向量为在点 P(1,1,1) 处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面 (2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为注意: 对三元函数, 与垂直的方向有无穷多2021/7/228目录 上页 下页 返回 结束 梯度的基本运算公式2021/7/229目录 上页 下页 返回 结束 例题. 函数在点处的梯度解:则注意 x , y ,
4、 z 具有轮换对称性2021/7/2210目录 上页 下页 返回 结束 三、通量与散度引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为2021/7/2211目录 上页 下页 返回 结束 若 为方向向外的闭曲面, 当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为2021/7
5、/2212目录 上页 下页 返回 结束 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 , 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 2021/7/2213目录 上页 下页 返回 结束 定义: 设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度. 记作显
6、然2021/7/2214目录 上页 下页 返回 结束 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场.说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且散度意义 2021/7/2215目录 上页 下页 返回 结束 例. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为解: 2021/7/2216目录 上页 下页 返回 结束 四、 环流量与旋度斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 2021/7/2217目录 上页 下页 返回 结束 令 , 引进
7、一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 的称为向量场 A 定义: 沿有向闭曲线 的环流量.或 于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度. 2021/7/2218目录 上页 下页 返回 结束 设某刚体绕定轴 l 转动,M 为刚体上任一点, 建立坐标系如图, 则角速度为,点 M 的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:2021/7/2219目录 上页 下页 返回 结束 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! 向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式的物理意义:例4. 求电场强度 的旋度 .解: (除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.2021/7/2220目录 上页 下页 返回 结束 场论中的三个度设 梯度:散度:旋度:则2021/7/2221个人观点供参考，欢迎讨论
