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1、（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理1 第 1 讲坐标系与参数方程 考情考向分析 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识热点一极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为（x，y) 和(,） ，则错误 ! 错误 !例 1 (2
2、018佛山模拟） 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为错误 !（t为参数，a 0） 以坐标原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1上一点A的极坐标为错误 !，曲线C2的极坐标方程为cos .(1) 求曲线C1的极坐标方程；(2 ）设点M，N在C1上，点P在C2上（异于极点） ，若O,M,P，N四点依次在同一条直线l上，且MP| ，|OP,|PN成等比数列，求l的极坐标方程解（1) 曲线C1的直角坐标方程为（xa）2y23，化简得x2y22axa230.（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理2 又x2y22,xcos
3、,所以22acos a230。代入点错误 !，得a2a20，解得a2 或a 1( 舍去) 所以曲线C1的极坐标方程为24cos 10.（2）由题意知，设直线l的极坐标方程为（R),设点M错误 !,N错误 !，P错误 !，则13b0）的参数方程为错误 !（为参数）(2) 抛物线y22px(p0）的参数方程为错误 !（t为参数）例 2 (2018全国 )在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为错误 !（为参数），过点（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理4 (0 ，2) 且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点（1) 求的取值范围；(2 ）求AB
4、中点P的轨迹的参数方程解（1)O的直角坐标方程为x2y21.当错误 !时,l与O交于两点当错误 !时，记 tan k, 则l的方程为ykx错误 !。l与O交于两点当且仅当错误 !0) 所以C2的直角坐标方程为(x2）2y24(x0)（2) 设点B的极坐标为 (B，) （B0)由题设知OA| 2,B4cos .于是OAB的面积S错误 !|OA| Bsin AOB4cos 错误 !（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理9 4cos 错误 ! sin 2错误 !cos 2错误 !2错误 !2错误 !。当 2错误 !错误 !，即错误 !时，S取得
5、最大值2错误 !，所以OAB面积的最大值为2错误 !.押题预测1已知曲线C的极坐标方程是4cos . 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是错误 !(t是参数）（1) 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2) 若直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB| 错误 !，求直线的倾斜角的值押题依据极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点本题考查了等价转换思想，代数式变形能力, 逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题解(1) 由4cos ，得24cos 。因为x2y22，xcos ，所以x2y24x，即曲线C的直角坐标方程为（x2)2y24。
6、(2) 将错误 !代入圆的方程（x2）2y24，得（tcos 1）2（tsin )24,化简得t22tcos 30。设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得错误 !所以AB| |t1t2| 错误 !错误 !错误 !，故 4cos21，解得 cos 错误 !.（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理10 因为直线的倾斜角0 ，)，所以错误 !或错误 !。2在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1：错误 !（为参数） , 其中ab0。以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2cos ，射线l：(0)若射线l与曲线C
7、1交于点P，当0 时，射线l与曲线C2交于点Q, PQ 1；当错误 !时，射线l与曲线C2交于点O，|OP| 错误 !。(1 ）求曲线C1的普通方程 ;(2) 设直线l：错误 !(t为参数 ,t0）与曲线C2交于点R, 若错误 !，求OPR的面积押题依据将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势解(1) 因为曲线C1的参数方程为错误 !(为参数）, 且ab0， 所以曲线C1的普通方程为错误 !错误 !1，而其极坐标方程为错误 !错误 !1.将0(0)代入错误 !错误 !1，得a，即点P的极坐标为错误
8、!；将0(0)代入2cos ，得2，即点Q的极坐标为 (2,0) 因为 |PQ 1, 所以 |PQ|a2| 1，所以a1 或a3.将错误 !(0)代入错误 !错误 !1，得b, 即点P的极坐标为错误 !，因为 |OP| 错误 !，所以b错误 !。又因为ab0，所以a3,所以曲线C1的普通方程为错误 !错误 !1。（2) 因为直线l的参数方程为错误 !（t为参数 ,t0） ，所以直线l的普通方程为y错误 !x（x0） ，（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理11 而其极坐标方程为错误 !（R,0） ,所以将直线l的方程错误 !代入曲线C2的
9、方程2cos ，得1，即OR 1。因为将射线l的方程错误 !(0）代入曲线C1的方程错误 !错误 !1,得错误 !, 即OP| 错误 !，所以SOPR错误 !|OP|OR|sin POR错误 !错误 !1sin 错误 !错误 !。A组专题通关1(2018百校联盟TOP20联考) 已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为错误 !(为参数） , 直线l1：x0, 直线l2:xy0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴 , 建立极坐标系（1）写出曲线C和直线l1,l2的极坐标方程；（2) 若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O,B两点，求 |AB.解(1) 依题意知，曲线C： （x1）2
10、错误 !25，即x22xy24y0，将xcos ，ysin 代入上式 , 得2cos 4sin 。因为直线l1：x0，直线l2：xy0,故直线l1，l2的极坐标方程为l1:错误 !（R） ，l2:错误 !(R) （2) 设A，B两点对应的极径分别为1，2，在2cos 4sin 中，令错误 !，得12cos错误 !4sin错误 !4,令错误 !, 得22cos错误 !4sin错误 !3错误 !，因为错误 !错误 !错误 !，（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理12 所以AB错误 !错误 !。2 （2018衡水金卷模拟) 以平面直角坐标系的
11、原点为极点,x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程是sin错误 !1，圆C的参数方程为错误 !(为参数，r0) (1) 若直线l与圆C有公共点 , 求实数r的取值范围；(2) 当r2 时，过点D（2，0) 且与直线l平行的直线l交圆C于A，B两点 , 求错误 !的值解（1) 由sin错误 !1，得错误 !1，即错误 !y错误 !x1，故直线l的直角坐标方程为3xy20。由错误 !得错误 !所以圆C的普通方程为（x1)2y2r2。若直线l与圆C有公共点，则圆心（1，0）到直线l的距离d错误 !r，即r错误 !,故实数r的取值范围为错误 !。（2）因为直线l的倾斜
12、角为错误 !，且过点D（2，0） ，所以直线l的参数方程为错误 !(t为参数），圆C的直角坐标方程为(x1）2y24，联立，得t2t30,设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2 1，t1t2 30 且a1） , 点P的轨迹为曲线C2.(1 ）求曲线C2的方程 , 并说明C2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点, 以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,A点的极坐标为错误 !，射线与C2的异于极点的交点为B，已知AOB面积的最大值为423，求a的值解(1) 设P（x，y),M错误 !，由错误 !a错误 !, 得错误 !错误 !点M在C1上，（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列
13、 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理14 错误 !即错误 !（为参数），消去参数，得错误 !2y24a2（a0 且a1)曲线C2是以错误 !为圆心，以2a为半径的圆（2）方法一A点的直角坐标为(1 ，错误 !),直线OA的普通方程为y错误 !x，即错误 !xy0.设B点坐标为 (2a2acos ，2asin ） ，则B点到直线错误 !xy0 的距离d错误 !a错误 !。当错误 !时，dmax(错误 !2）a。SAOB的最大值为错误 !2(错误 !2）a42错误 !, a2.方法二将xcos ，ysin 代入错误 !2y24a2, 并整理得4acos ，令，得4acos 。B错误 !。S
14、AOB错误 !|OA| OBsin AOB4acos 错误 !a|2sin cos 2错误 !cos2asin 2错误 !cos 2错误 !| a错误 !，当错误 !时，SAOB取得最大值 (2 错误 !）a，依题意知 (2 3）a42错误 !，a2.5 （2018河南省南阳市第一中学考试）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程为错误 !(为参数 ) ，l1,l2为过点O的两条直线 ,l1交M于A,B两点，l2交M于C，D两点 , 且l1的倾斜角为，AOC错误 !.(1 ）求l1和M的极坐标方程；（2) 当错误 !时，求点O到A，B,C，D四点的距离
15、之和的最大值解（1）依题意知，直线l1的极坐标方程为（R） ，（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理15 由错误 !消去，得(x1）2(y1)21，将xcos ,ysin 代入上式 ,得22cos 2sin 10，故M的极坐标方程为22cos 2sin 10.（2）依题意可设A(1，） ，B（2，）,C错误 !，D错误 !，且1，2，3,4均为正数，将代入22cos 2sin 10，得22（cos sin ）10，所以122（cos sin ） ，同理可得 ,342错误 !,所以点O到A,B,C,D四点的距离之和为12342（cos si
16、n ）2错误 !（ 1错误 !）sin （ 3错误 !）cos 2（1错误 !)sin错误 !，因为错误 !，所以错误 !错误 !，所以当 sin错误 !sin错误 !1，即错误 !时,1234取得最大值22错误 !,所以点O到A,B,C，D四点距离之和的最大值为223.B组能力提高6在直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P错误 !, 其参数方程为错误 !（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（全国通用版）2019 高考数学二轮复习专题七系列 4 选讲第 1 讲 坐标系与参数方程学案理16 （1）求曲线E的极坐标方程；（2) 若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证：错误 !错误 !为定值，并求出这个定值解(1）将点P错误 !代入曲线E的方程，得错误 !解得a23，所以曲线E的普通方程为错误 !错误 !1，极坐标方程为2错误 !1。（2）不妨设点A，B的极坐标分别为A(1，) ，B错误 !,10，20，则错误 !即错误 !所以错误 !错误 !错误 !，即错误 !错误 !错误 !，所以1|OA|2错误 !为定值错误 !。7已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴
