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1、高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),(zyxaaaa，),(zyxbbbb，则),(zzyyxxbabababa, ),(zyxaaaa；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222zyxr；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4） 方向余弦：rzryrxcos,cos,cos1cosc
2、oscos2225） 投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：cosbaba1）2aaa精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 2）baEMBED Equation.3 0bazzyyxxbabababa2、 向量积：bac大小：sinba，方向：cba,符合右手规则1）0aa2）ba /EMBED Equation.3 0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概
3、念：0),(:zyxfS2、 旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf绕z轴旋转一周：0),(22zyxf3、 柱面：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222zbyax2） 椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3） 单叶双曲面：1222222czbyax4） 双叶双曲面：1222222czb
4、yax5） 椭圆抛物面：zbyax22226） 双曲抛物面（马鞍面） ：zbyax22227） 椭圆柱面：12222byax8） 双曲柱面：12222byax精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 9） 抛物柱面：ayx2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：0),(0),(zyxGzyxF2、 参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos3、 空间曲线在坐标面上的投影0),(0),(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy
5、上的投影00),(zyxH（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),(CBAn，过点),(000zyx2、 一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、 两平面的夹角：),(1111CBAn，),(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 210212121CCBBAA21/212121CCBBAA4、 点),(0000zyxP
6、到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、 对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),(pnms，过点),(000zyx3、 参数式方程：ptzzntyymtxx0004、 两直线的夹角：),(1111pnms，),(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21/ LL212121ppnnmm5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，精品p d f 资料 - - - 欢迎下
7、载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 222222sinpnmCBACpBnAm/L0CpBnAmLpCnBmA第九章多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：),(yxfz，图形：3、 极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004、 连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5、 偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfy
8、xfyy),(),(lim),(00000006、 方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、 梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 8、 全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1）定义：u ux x
9、2）复合函数求导：链式法则z z若( , ),( , ),( , )zf u v uu x yvv x y( , ),( , ),( , )zf u v uu x yvv x y，则v vy yzzuzvxuxvxzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvyzzuzvyuyvy3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数),(yxfz的极值偏函数可微函数连续偏导数连充分条必要条定1 2 2 3 4 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - -
10、- - - - 解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy， 若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值； 若02BAC，函数没有极值； 若02BAC，不定。2） 条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值令：),(),(),(yxyxfyxL Lagrange 函数解方程组0),(00yxLLyx2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzz
11、ztyyytxxx法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2） 曲面的切平面与法线精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 曲面0),(:zyxF，则上一点),(000zyxM处的切平面方程为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章重积分（一） 二重积分1、 定义：nkkkkDfyxf10),
12、(limd),(2、 性质： （6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，21( )( )( , )d dd( , )dbxaxDf x yx yxf x yydycyxyyxD)()(),(21，21( )( )( , )d dd( , )ddycyDf x yx yyf x yx2） 极坐标)()(),(21D精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 21()()( , )d d(cos ,sin)dDf
13、 x yx ydf（二） 三重积分1、 定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先一后二 ”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(-“先二后一 ”2） 柱面坐标zzyxsincos，( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz3） 球面坐标cossinsincossinrzryrx2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr（三） 应用曲面Dyxy
14、xfzS),(,),(:的面积：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - - yxyzxzADdd)()(122第十一章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs2、 性质：1）( ,)( ,)d( , )d( , )d .LLLf x yx ysf x ysg x ys2）12( ,)d( , )d( , )d .LLLf x ysf x ysf x ys).(21LLL3）在L上，若),(),(yx
15、gyxf，则( , )d( , )d .LLf x ysg x ys4）lsLd( l 为曲线弧L的长度 ) 3、 计算：设),(yxf在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 ，L的 参 数 方 程 为)(),(),(ttytx， 其 中)(),(tt在,上 具有 一 阶 连续 导 数 ， 且0)()(22tt，则22( ,)d ( ),( )( )( )d ,()Lfx ysfttttt（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设L为xoy面内从A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(yxP，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第
16、 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - ),(yxQ在L 上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(. 向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2、 性质：用L表示L的反向弧, 则LLryxFryxFd),(d),(3、 计算：设),(, ),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续 ,L的参数方程为):(),(),(ttytx， 其 中)(),(tt在,上 具 有 一 阶 连 续导 数 ， 且0)()(22tt，则( ,)d( ,)d( ),( )( ) ( ),( )( )dLP x yxQ x yyPtttQtttt4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos )dLLP xQ yPQs. （三） 格林公式精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 12 页，共 21
