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1、优秀学习资料欢迎下载第 2 讲一元二次不等式及其解法【20XX 年高考会这样考】1会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型2考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题3以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题【复习指导】1结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法2熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法基础梳理1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)(2)求出相应的一元二次方程的根(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等
2、式的解集2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2) 有两相等实根x1x2b2a没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集 x|xx2或 xx1 x|xb2aR精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载ax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2?一个技巧一元二次不等式 ax2bxc0(a0)
3、的解集的确定受a 的符号、 b24ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数yax2bxc(a0)的图象，数形结合求得不等式的解集若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2bxc0(或0)(其中 a0)的形式，其对应的方程 ax2bxc0 有两个不等实根 x1，x2，(x1x2)(此时 b24ac0)，则可根据 “大于取两边，小于夹中间 ”求解集两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进
4、行分类讨论，分类要不重不漏双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )不等式 x23x20 的解集为 ()A(， 2)(1， ) B(2，1) C(， 1)(2， ) D(1,2) 解析 (x1)(x2)0， 1x2. 故原不等式的解集为 (1,2)答案D 2(2011 广东)不等式 2x2x10 的解集是 ()A.12，1B(1， ) 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载C(， 1)(2， ) D.，12(1， ) 解析 2x2x1(x1)(2x1
5、)0， x1 或 x12. 故原不等式的解集为，12 (1，)答案D 3不等式 9x26x10 的解集是 ()A. x|x13B.13C. x|13x13DR解析 9x26x1(3x1)20， 9x26x10 的解集为 x|x13. 答案B 4(2012 许昌模拟 )若不等式 ax2bx20 的解集为 x|2x14，则 ab()A28 B26 C28 D26 解析 x2，14是方程 ax2bx20 的两根，2a 2 1412，ba74， a4，b7. ab28. 答案C 5 不等式 ax22ax10 对一切 xR 恒成立， 则实数 a 的取值范围为 _解析当 a0 时，不等式为 10 恒成立；
6、当 a0 时，须a0， 0，即a0，4a24a0.精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载 0a1，综上 0a1. 答案0,1考向一一元二次不等式的解法【例 1】?已知函数 f(x)x22x，x0，x22x，x0，解不等式 f(x)3. 审题视点 对 x 分 x0、x0 进行讨论从而把 f(x)3 变成两个不等式组解由题意知x0，x22x3或x0，x22x3，解得： x1. 故原不等式的解集为 x|x1解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式
7、； (2)确定判别式的符号；(3)若 0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若 0，则对应的二次方程无根； (4)结合二次函数的图象得出不等式的解集特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集【训练 1】 函数 f(x)2x2x3log3(32xx2)的定义域为 _解析依题意知2x2x30，32xx20，解得x32或x1，1x3. 1x3. 故函数 f(x)的定义域为 1,3)精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载
8、答案1,3) 考向二含参数的一元二次不等式的解法【例 2】?求不等式 12x2axa2(aR)的解集审题视点 先求方程 12x2axa2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得：x1a4，x2a3. a0 时，a4a3，解集为 x|xa4或xa3；a0 时，x20，解集为 x|xR 且 x0；a0 时，a4a3，解集为 x|xa3或xa4. 综上所述：当 a0 时，不等式的解集为x|xa4或xa3；当 a0 时，不等式的解集为 x|xR 且 x0；当 a0 时，不等式的解集为x|xa3或xa4. 解含参数
9、的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与 0 的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式【训练 2】 解关于 x 的不等式 (1ax)21. 解由(1ax)21，得 a2x22ax0，即 ax(ax2)0，当 a0 时，x?. 当 a0 时，由 ax(ax2)0，得 a2x x2a0，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - -
10、- - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载即 0 x2a. 当 a0 时，2ax0. 综上所述：当a 0 时，不等式解集为空集；当a0 时，不等式解集为x 0 x2a；当 a0 时，不等式解集为x2ax0 . 考向三不等式恒成立问题【例 3】?已知不等式 ax24xa12x2对一切实数 x 恒成立，求实数a 的取值范围审题视点 化为标准形式 ax2bxc0 后分 a0 与 a0 讨论当 a0 时，有a0， b24ac0.解原不等式等价于 (a2)x24xa10 对一切实数恒成立，显然 a2 时，解集不是 R，因此 a2，从而有a20， 424 a2 a1 0，整理，得a2，a2 a3
11、 0，所以a2，a3或a2，所以 a2. 故 a 的取值范围是 (2， )不等式 ax2bxc0 的解是全体实数 (或恒成立 )的条件是当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0， 0；不等式 ax2bxc0 的解是全体实数 (或恒成立)的条件是当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0， 0.【训练 3】 已知 f(x)x22ax2(aR)，当 x1，)时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解法一f(
12、x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa. 当 a(， 1)时，f(x)在1， )上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使 f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina，即 2a3a，解得 3a1；当 a1， )时，f(x)minf(a)2a2，由 2a2a，解得 1a1. 综上所述，所求 a 的取值范围为 3,1法二令 g(x)x22ax2a，由已知，得 x22ax2a0 在1， )上恒成立，即 4a24(2a)0 或 0，a1，g 1 0.解得 3a1. 所求 a 的取值范围是 3,1规范解答 12怎样求解含参数不等式的恒成立问题【问题研究】含参数的不等式恒成立问题越来越受高
13、考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法. 【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题 . 【示例】?(本题满分 14 分)(2011 浙江)设函数 f(x)(xa)2ln x，aR. (1)若 xe为 yf(x)的极值点，求实数a；(2)求实数 a 的取值范围，使得对任意的x(0,3e，恒有 f(x)4e2成立精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
14、 - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载注：e为自然对数的底数本题对于 (1)问的解答要注意对于结果的检验，因为 f(x0)0，x0不一定是极值点；对于 (2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多解答示范 (1)求导得 f(x)2(xa)ln xxa2x(xa)(2ln x1ax)(2 分) 因为 xe 是 f(x)的极值点，所以f(e)(ea) 3ae0，解得 ae 或 a3e.经检验，符合题意，所以ae或 a3e.(4分) (2)当 0 x1 时，对于任意的实
15、数a，恒有 f(x)04e2成立 (5 分) 当 1x3e时，由题意，首先有f(3e)(3ea)2ln(3e)4e2，解得 3e2eln 3ea3e2eln 3e(6 分) 由(1)知 f(x)xa 2ln x1ax.(8 分) 令 h(x)2ln x1ax，则 h(1)1a0，h(a)2ln a0，且 h(3e)2ln(3e)1a3e2 ln(3e)13e2eln 3e3e2ln 3e13 ln 3e0.(9分) 又 h(x)在(0，)内单调递增，所以函数h(x)在(0，)内有唯一零点，记此零点为 x0，则 1x03e,1x0a. 从而，当 x(0，x0)时，f(x)0；当 x(x0，a)时
16、，f(x)0；当 x(a， )时，f(x)0.即 f(x)在(0，x0)内单调递增，在 (x0，a)内单调递减，在 (a， )内单调递增所以要使 f(x)4e2对 x(1,3e恒成立，只要f x0 x0a2ln x04e2， 1f 3e 3ea2ln 3e 4e2， 2成立 (11分) 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载由 h(x0)2ln x01ax00，知 a2x0ln x0 x0.(3) 将(3)代入(1)得 4x20ln3x04e2.又 x01， 注意到函数 x2ln3x 在(1， )内单调递增，故 1x0e. 再由(3)以及函数 2xln xx在(1， )内单调递增，可得1a3e. 由(2)解得， 3e2eln 3ea3e2eln 3e. 所以 3e2eln 3ea3e.(13分) 综上， a 的取值范围为 3e2eln 3ea3e.(14分)本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论
