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1、专题08 指数函数与对数函数专题导航目录常考点01 指、对数的化简求值1常考点02 指、对数模型在生活中的应用3常考点03 指、对数函数及图象7常考点04 利用指、对数函数比较大小10常考点05 利用指、对数函数解不等式（方程）13常考点06 指、对数函数的综合应用16易错点01 公式运用不熟练没有得到最终解22易错点02 使用换元法,使变量范围扩大致误23易错点03 处理对数函数问题忽略真数大于零24专项训练 （全卷共22题）25专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写常考点归纳常考点01 指、对数的化简求值【典例1】（2021湖南长沙市高三模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折
2、射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A甲同学和乙同学 B丙同学和乙同学 C乙同学和甲同学 D丙同学和甲同学【典例2】（2021浙江高三期末）已知x，y为正实数，则（ ）A B C D【技巧点拨】1）根式、指数幂化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序2）对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa1，loga10.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能
3、运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质3）对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算【变式演练1】（2021福建高三模拟）已知实数a，b满足，则（ ）A3B7CD【变式演练2】（2021江苏南通市高三模拟）若x，y，z均为正数，且，与最接近的整数为（ ）A2B3C4D5【变式演练3】（2020全国高考真题（文）设，则（ ）ABCD常考点02 指、对数模型在生活中的应用【典
4、例1】1（2020海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) （ ）A1.2天 B1.8天 C2.5天 D3.5天【典例2】2（2021全国高考真题（文）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用
5、五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）A1.5B1.2C0.8D0.6【技巧点拨】本类题型的特点是注重知识的应用，特别是指、对数型函数模型的应用，重点掌握指数式与对数式互化，函数与方程思想，数学运算、数学建模等解题关键是正确进行指数式与对数式的互化【变式演练1】（2021重庆高三模拟）我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度()，其中()是喷流相对速度，()是火箭(除推进剂外)的质量，(
6、)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知甲型火箭的总质比为400，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了900()，则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为（ ）(参考数据：，)ABCD【变式演练2】（2021江苏苏州市常熟中学高三三模）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（ ）参考数据：.参考时间轴
7、：A战国B汉C唐D宋【变式演练3】（2021福建南平市高三二模）克劳德香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加（ ）ABCD常考点03 指、对数函数及图象【典例1】（2021四川凉山州高三三模）函数，且，则（ ）A4B5C6D8【典例2】（2019浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）ABCD 【技巧点拨】
8、1）判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0，a1)这一结构形式2）对数函数的解析式同时满足：对数符号前面的系数是1；对数的底数是不等于1的正实数(常数)；对数的真数仅有自变量x.3）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论4）判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较5） (1)不管a1还是0a1，底大图低；(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴6）指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常
9、常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题【变式演练1】（2021河北衡水市高三其他模拟）函数且a1)的图象过定点Q，且角a的终边也过点Q，则_.【变式演练2】（2021山东潍坊市高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）A B C D【变式演练3】（2021四川高三三模（理）函数及，则及的图象可能为（ ）ABCD常考点04 利用指、对数函数比较大小【典例1】（2021全国新高考真题2卷）已知，则下列判断正确的是（ ）ABCD【典例2】（2021全国高考真题（理）设，则（ ）ABCD【技巧点拨】1、比较指、对数式的大小的方法是：(1)同底
10、（或能化成同底数的先化成同底），再利用单调性比较大小；(2)指数或真数相同，利用图象法或转化为同底数进行比较。（3）若底数、指数（真数）均不同，引入中间量进行比较.（中间量一般选择0，1）。2.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大 3.根据对数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线y1与图象的交点进行判断【变式演练1】（2020全国高考真题（理）已知5584，13485设a=log53
11、，b=log85，c=log138，则（ ）AabcBbacCbcaDcab【变式演练2】（2020全国高考真题（理）若，则（ ）ABCD【变式演练3】（2020全国高考真题（理）若，则（ ）ABCD常考点05 利用指、对数函数解不等式（方程）【典例1】（2021江苏南通市高三模拟）已知函数，在R上单调递增，其中e为自然对数的底数，那么当m取得最大值时，关于x的不等式的解集为（ ）ABCD【典例2】（2021广东高三模拟）是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是_【技巧点拨】1.解决指数不等式的求解问题一般利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论2.对可化为
12、a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.对数形式的方程或不等式方法同上，只是要加上对定义域的考虑即可.2.解对数不等式的类型及方法：（1）形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论（2）形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式3.有关指、对数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指、对数型函数图象和性质，数形结合求解【变式演练1】（2021上海高三二模）方程的解集为_.【变式演练2】（2021合肥市第六中学高三其他模拟）已知函数则使得成
13、立的x的取值范围是（ ）A B C D【变式演练3】（2021上海高三二模）已知函数，则不等式的解集为（ ）A B C D常考点06 指、对数函数的综合应用【典例1】（2021河南洛阳市高三三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，已知，则函数的值域为（ ）ABCD【典例2】（2021山东高三专题练习）已知函数（且，）是偶函数，函数（且） .（1）求的值；（2）若函数有零点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，使得成立，求实数的取值范围.【技巧点拨】1.应用对数函
14、数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断解答指、对数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质灵活求解即可。【变式演练1】（2021广东茂名市高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）A-1B0C1D2【变式演练2】（2021浙江高三模拟）已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则_.【变式演练3】（202
