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1、考研试题分析四（不定积分）考研试题分析四（不定积分） 例例 1 （1999 年高数一至四） 设是连续函数，是的原函数，则 )(xf)(xF)(xf（A） 当是奇函数时，必是偶函数。 )(xf)(xF（B） 当是偶函数时，必是奇函数。 )(xf)(xF（C） 当是周期函数时，必是周期函数。 )(xf)(xF（D） 当是单调增函数时，必是单调增函数。 )(xf)(xF答案 （A）. 分析 可以选取较简单的函数，逐个检验。 解答 取（奇函数，单调增函数） ，有xxf=)(CxxF+=221)(不是单调增函数,故(D)错误。 取（偶函数） ，有2)(xxf=CxxF+=331)(不是奇函数，故(B)错
2、误。 取（周期函数） ，有xxfcos)(=CxxF+= sin)(也是周期函数，但取1cos)(+=xxf（周期函数） ，有CxxxF+= sin)(不是周期函数，故(C)错误。排除法确定（A）正确。. 例例 2(2004年高数一) 已知，且则xxxeef=)(, 0) 1 (=f=)(xf . 答案 x2ln21 分析 已知条件与的导数有关, 所求的是的表达式, 若能求出的导数, 则其导数的不定积分即为. )(xf)(xf)(xf)(xf解答 设, 则, 从而tex=txln=.ln)(tttf= 因 所以有.)()(Cxfdxxf+=.)(ln21lnlnln212CxfCxxxddxx
3、x+=+= 故.ln21)(212CCxxf+=由于, 0) 1 (=f故取, 021=CC所以xxf2ln21)(= 1例例 3(1992年高数二) 求.123+ xdxx 答案 .)1 ()1 (31212232Cxx+ 分析一 本题中难积的部分是.12x+如果将视作整体,则分子部分可设法凑成 21x+).1 (2xd+解一 Cxxxdxxxdxxxdxxxdxx+=+=+=+=+21223222222222223)1 ()1 (31)1 ()111(21)1 (1211)1 (121 分析二 注意到被积函数中含有的形式,故可考虑用三角代换法. 22xa+解二 令)22(=xFF).(xf
4、答案 .)1 (2)(232xxexfx+= 4分析 已知条件与的原函数，若能求出，求导后即得 )(xf)(xF)(xF).(xf解答 由 有),()(xfxF=2)1 ()()(2xxexFxFx+=，两边积分得： CxedxxxedxxFxFxFxx+=+=1)1 ()()(2)(22 由得, 0)(, 1)0(=xFFxexFx+=1)(. 求导后即得.)1 (2)()(232xxexFxfx+= 例例 9. (2001年高数一) 求.2dxearctgexx 答案 .1212Carctgeeearctgexxxx+ 分析 本题可化为.2122xxxxdearctgedxarctgee=
5、故可考虑用分部积分法. 解答 +=+=)1 (21)1 (212122222222xxxxxxxxxxxxxxxedeedeearctgeeedearctgeedearctgedxarctgee =.1212Carctgeeearctgexxxx+ 例例 10. (1999年高数二) =+dxxxx13652 答案 .234)136ln(212Cxarctgxx+ 分析 本题属于有理分式的积分， 一般来说， 可以将真分式化为若干部分分式之和，然后分项积分。但这样做，有时显得很繁杂，本题可以将分母的一部分凑成完全平方。 解答 dttttxdxxxdxxxx+=+=+222222832) 3(51365令 5Ctarctgt+=24)4ln(212=.234)136ln(212Cxarctgxx+ 6
