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1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2021/8/311函数的凹凸性及拐点axyoaoxy(1)(1)(2)观察图1、2中的两条曲线图1中的曲线是向下鼓鼓地增，而图2中的曲线是向上鼓鼓地增 看看函数y=f(x)的导数有什么变化？ x1x2x1x2y=f(x)y=f(x)2021/8/312axyo(3)观察图3、4中的两条曲线axyo(4)图3中的曲线是向下鼓鼓地减，而图4中的曲线是向上鼓鼓地减 看看函数y=f(x)的导数有什么变化？ x1x2x1x22021/8/313定义1: 设函数y=f(x)在某区间I内可导;若f (x)在区间I内是递增的，则曲线y=f(x)在I内是凹的。
2、 区间I称为凹区间，用符号“”表示。若f (x)在区间I内是递减的，则曲线y=f(x)在I内是凸的。 区间I称为凸区间，用符号“”表示。定义2: 设函数y=f(x)在某区间I内连续，则曲线y=f(x) 在I内的凹凸分界点称为曲线y=f(x)的拐点。 2021/8/314xyo例1. 考察 在R上的凹凸性。如右图： 定理1. 设函数y=f(x)在某区间I内具有二阶导数 1)、若y=f (x)0 ，则曲线y=f(x)在区间I内是凹的。 2)、若y=f (x)0 ，则曲线y=f(x)在区间I内是凸的。 2021/8/315xyo在凹凸区间的分界点（0,0）即拐点 2021/8/316定理2：（拐点的必要条件），若函数y=f(x)在x0处二阶导数存在，且点(x0 ,f (x0 )为曲线y=f(x)的拐点，则f (x)=0.2021/8/317定理3:（充分条件）若f (x)=0 ，且在x0两侧变号， 则点(x0 ,f (x0 )是曲线的拐点。求曲线拐点的步骤：1)，求f(x)的定义域;2)，求f (x) , f (x);3),求f (x)=0的点或f (x)不存在的点;4),判断f (x)在以上点左右两侧的符号变化，从而确定拐点。2021/8/318x2f (x)0f(x)n拐点u+-(-,2)2021/8/319部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
