《2022年二次函数中绝对值问题的求解策略》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二次函数中绝对值问题的求解策略（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“ 明珠” ，而它与绝对值知识的综合， 往往能够演绎出一曲优美的 “ 交响乐 ” ，故成为高考 “ 新宠” 。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领， 现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零， 各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。例 1 已知 f(x)=x2+bx+c (b,cR)
2、, （1）当 b2 时，求证： f(x)在（ 1，1）内单调递减。（2）当 b2 时，求证：在（ 1，1）内至少存在一个x0，使得 |f(x0)|21. 分析（1）当 b2 时，f(x)的对称轴在（ 1，1）的右侧，那么 f(x)在（ 1，1）内单调递减。（2）这是一个存在性命题，怎么理解“ 至少存在一个x0” 呢？其实质是能找到一个这样的 x0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。当 x=0 时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对 |c|进行讨论：（i）若|c| 21,即|f(0)|21，命题成立。（ii）若|c|21，取 x0=21,则21432145|2141|2
3、141|)21(|cbcbf. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载故不论 |c| 21还是|c|21,总存在 x0=0 或 x0=21使得|f(x0)| 21成立。本题除了取 x=21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。二、合理用公式，灵活换视角公式 |a| |b| |a b| |a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。例 2 已知 f(x)=x2+ax+b 的图象与
4、x 轴两交点的横坐标为x1，x2若|a|+|b|1 ，求证：|x1|1 且|x2|1. 解由韦达定理，得bxxaxx2121. |,|2121bxxaxx代入 |a|+|b|1 ，得|x1+x2|+|x1x2|1，又|x1|x2| |x1+x2|. 1|21212121xxxxxxxx即|x1|(1+|x2|)0，|x1|1. 同理可得 |x2|1. （2）对一切实数 x，恒有|41|2acbxax. 分析（ 1）略。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢
5、迎下载（2）|442)2(|22abacabxacbxax由（1）可知2)2(abxa与abac442同号。|2cbxax.|41|44|44|)2(|222aabacabacabxa三、机智赋特值，巧妙求系数变量在某一区域有某种结论成立时， 可通过对题目结构特征的观察， 由目标导向，赋予一系列特殊的函数值来构建对应的系数关系，使抽象问题具体化，从而独辟蹊径，出奇制胜。例 4 函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0),对一切 x1,1,都有|f(x)|1， 且 g(x)=cx2+bx+a，求证：（1）x1,1时，|2ax+b| 4.（2）x1,1时，|g(x)|2.证明（1）由题设条件，可得
6、.)0(,)1(,)1 (cfcbafcbaf)0(),1()1(21),0(2) 1() 1(21fcffbfffa又由题意可知.0|)0(|, 1|)1(|,1|)1(|fff精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载要证明1 , 1x时，|2ax+b| 4，只要证明 | 2a+b|4.422123|)0(2)1(21)1(23|2|fffba同理可证 |2a+b|4.（2）|g(x)|=|cx2+bx+a| 2221211|21|21|1| ) 1
7、(21) 1(21)0()1( | )0(2)1() 1 (2) 1()1 ()0(|22222xxxxxxxfxfxfxfffxffxf请读者仿照例 4 的方法解决下面一题：例 5 函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0)，已知 |f(0)|1，|f(1)|1,|f(1)|1.求证：对一切 1 , 1x,都有.2|)(|xf分析借助恒等式4)1(4)1(22xxx, 得|g(x)|=|ax+b| . |)21(|)21(|)21()21(| 212)21()21(2)21( |)2121(42)1(42)1(|xfxfxfxfcxbxacxbxaccxxbxxa注意到1 , 1x,有0.1
8、21,1 ,021xx,故有|g(x)|1+1=2.精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载五、联想反证法，类比创条件对于一些数学问题， 如果从正面思考较难， 不妨尝试从反面入手， 巧用逆向思维，比如借反证法来找到解决问题的途径。例 7 函数 f(x)=x2+ax+b（a,b R） ，x1,1,求证：|f(x)|的最大值 M 21. 证明假设 M21，则|f(x)|21,21)(21xf即.21212baxx令 x=0,1,1,分别代入上式，得,212
9、1b,21121ba,21121ba由+，得2123b,与矛盾。点评通过假设结论不成立，创设了1 , 1x时，|f(x)|21恒成立这一常规而打开局面的有利条件，可谓“ 高招” ！六、鸡尾酒疗法，相是益彰好每一种解法都不是万能的， 如果把各种解题方法灵活地相互结合、渗透，那么不但能解决实际问题，而且思路开阔，有利于培养创造能力、提升数学品质。例 8 函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0） ，对一切1 , 1x，都有 f(x) 1，求证：对一切精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - -
10、 - - - - 学习必备欢迎下载2,2x，都有 f(x) 7.分析函数 y=|ax2+bx+c| (a0)在区间 p,q上的最大值，由图象易知只能在x=p 或x=q 或abx2处取得，于是由题意只需证明|f(2)| 7且|f(2)|7且.7|)2(|abf由已知 |f(1)|=|a+bc|, |f(1)|=|a+b+c|,|f(0)|=|c|, |f(2)|=|4a 2b+c| =|3f(1)+f(1)3f(0)| 3|f( 1)|+|f(1)+3|f(0)| =3 1+1+3 1=7 同理 |f(2)|7.若2, 22ab,则由以上可知命题已证。若2, 22ab，则|44|)2(|2aba
11、cabf. |2|21|4|2abbcabc|c| 1,.1|) 1(|21|) 1(|21|ffb又, 2|2|ab.221211|)2(|abf精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载因此，对一切2,2x,都有|f(x)|7.例 9 （1998 年“ 希望杯 ” 高三赛题）若函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0)，对一切 x0,1,恒有|f(x)|1.（1）对所有这样的f(x)，求|a|+|b|+|c| 可能的最大值；（2）试给出一个这样的f(
12、x)，使|a|+|b|+|c| 确实取到上述最大值。解（1）由0)0(,2141)21(,)1(fcbafcbaf解得)0(),0(3) 1()21(4),0(2)21(4) 1(2fcfffbfffa所以| )0()0(3)1()21(4|)0(2)21(4)1(2|fffffffcba17683| )0(|6|)21(|8) 1(|3fff故|a|+|b|+|c| 可能最大值为 17. （2）取 a=8,b=8，c=1，则f(x)=8x28x+11)21(82xf(x)在0,1上确实有 |f(x)| 1，且|a|+|b|+|c|=17. 解题思维训练是巩固所学知识的重要环节，也是培养优良教
13、学素养的有效手段，在学习中应当有意识地培养思维的“ 方向感 ” 和思路的 “ 归属感 ” ，促进数学思维空间的拓展，也有助于思维品质的提升。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例谈二次函数区间最值的求解策略如何求解二次函数在区间上的最值，是一个综合性较强的问题，影响二次函数在某区间上最值的是区间和对称的位置。本文就区间和对称轴动与静的变化进行分类，探索求最值的方法。一、定区间与定轴区间和对称轴都确定时，则将函数式配方，再根据对称轴和区间的关系，结合
14、函数在区间上的单调性，求最值。例 1 已知3, 11332)(2，xxxxf，求 f(x)最值。分析这 20XX 年上海高考题的一个变式题，对f(x)配方，得3, 1,34)33()(2xxxf，其图象开口向上，对称轴，x3133故.34)33()(;332)1()(minmaxfxffxf二、定区间与动轴区间确定而对称轴变化时，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论，再利用二次函数的示意图，结合单调性求解。例 2 已知, 12)(2mmxxxf当1 ,0 x时，f(x)最大值为 1，求 m 值。分析f(x)的图象开口向下，对称轴为x=m。（1）当 m0 时，f(x)在0，
15、1上递减，.1)0()(maxmfxf由 m1=1，得 m=2 这与 m1矛盾。或 m=-2 ,m=2 与 0m 1 矛盾。综上可知 m=1。三、动区间和定轴对称轴确定而区间在变化时，只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论。例 3 已知函数,49433)(22bbxbxxxf且 b0， 若,7)(m a xxf求 b。分析这是 1990 年全国高考题的一道压轴题中半部分的代数求值问题。将表达式配方，得.34)21(3)(22bxxf由于 xb,b，对称轴21x,所以应对,21bb及,21bb分类讨论。（1）若b21，即210b时，f(x)在b,b上递减，当 x=b时，.734)2
16、1(3)(22maxbbxf由 f(x)max=7，得723b，与210b矛盾。（2）若21b，即 b21，则对称穿过区间b，b，那么当21x时，.34)(2m axbxf由 f(x)max=7，得 b2=1,又0，b=1。综上可知 b=1. 四、动区间与动轴当区间和对称轴均在变化时，亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 4 已知 f(x)= x2+(a1)x+a,x1,a的最大值为 100，求 a值。分析由 x1,a，可知 a1，f(x)图象开口向下，对称轴为.21ax（1）当121a,即 1a3 时，f(x)max=f(1)=2a2. 由 2a2=100,得 a=51这与 13时，.412)21()(2maxaaafxf由1004122aa,得 a=19,或 a=21,又 a3，a=19. （3）当aa21时，a 1，与 a1 矛盾，故对称轴不可能在x=a
