《2022年人教版八年级上册数学专题+全等三角形中辅助线的添加》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年人教版八年级上册数学专题+全等三角形中辅助线的添加（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载全等三角形中辅助线的添加一. 教学内容： 全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接；（2）作平行线：过点作；（3）作垂线（作高） ：过点作，垂足为；（4）作中线：取中点，连接；（5）延长并截取线段：延长使等于；（6）截取等长线段：在上截取，使等于；（7）作角平分线：作平分；作角等于已知角；（8）作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全
2、等三角形。（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3）一线三等角问题（ “K ”字图、弦图、三垂图） ：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全
3、等。（6）构造特殊三角形：主要是30、60、 90、等腰直角三角形( 用平移、对称和弦图也可以构造) 和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：（1） ABC中 AD是 BC边中线DABC方式 1： 延长 AD到 E，使 DE=AD ，方式 2：间接倍长，作CF AD于 F，方式 3： 延长 MD 到 N，连接 BE 作 BE AD的延长线于E，连接 BE 使 DN=MD ，连接 CD EDABCFEDCBANDCBAM精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - -
4、 - 学习必备欢迎下载（2）由 ABE BCD导出由ABE BCD导出由 ABE BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD （3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线 +垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）（4）旋转：方法：延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ）结论：MN=BM+DNABCCMN2AM 、AN分别平分BMN和DNM翻折：思路 : 分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明M 、P、N三点共线 .（B+D=0180且AB=AD）（5）手拉手模型精品p d f 资料 -
5、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ABE和ACF均为等边三角形结论：（1）ABF AEC ； （2） B0E= BAE=60 （ “八字型”模型证明） ； （ 3）OA平分 EOF 拓展：条件：ABC和CDE均为等边三角形结论：（1） 、AD=BE（2）、ACB= AOB（ 3） 、PCQ为等边三角形（4） 、PQ AE（5） 、AP=BQ（6） 、CO平分AOE（7） 、OA=OB+OC（8） 、OE=OC+OD（ （7） ， （8）需构造等边三角形证明）ABD和AC
6、E均为等腰直角三角形结论：（1） 、BE=CD （2）BECD ABEF和ACHD均为正方形结论：（1） 、BDCF（2） 、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载n360180求证： T为FD的中点 . .ADFABCSS方法一：方法二：方法三：变形二：ABEF和ACHD均为正方形， M为FD的中点，求证：AN BC当以 AB 、AC为边构造正多边形时，总有：1=2= 21PGFE
7、DKJIHACBPFEDIHGBCA四、典型例题：考点一：倍长中线（或类中线）法：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载EDFCBADCBAEDCBA核心母题已知，如图 ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线 AD的取值范围是_. 练习：1、如图， ABC中，E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D 是中点，试比较BE+CF与EF 的大小 . 2、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. 3、如图，
8、 CE 、CB分别是 ABC与 ADC的中线，且 ACB= ABC ，求证： CD=2CE 。4、已 知 ：如 图 ，在 正 方 形 ABCD中 ，E 是 BC的 中 点 ，点 F 在 CD上 ， FAE= BAE求 证 ：AF=BC+FC5、如图， D是 AB的中点， ACB=90 , 求证： 2CD=AB. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载6、已知在 ABC中， AB=AC ，D在 AB上， E在 AC的延长线上，DE交 BC于 F，且 D
9、F=EF ，求证： BD=CE 。7、已知在 ABC中， AD是 BC边上的中线， E是 AD上一点，且BE=AC ，延长 BE交 AC于 F，求证： AF=EF 。8、已知：如图，在ABC中，ACAB， D 、E在 BC上，且 DE=EC ，过 D作BADF /交 AE于点 F，DF=AC. 求证： AE平分BAC。9、以ABC的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰 RtACE，90 ,BADCAE连接DE ，M 、N分别是BC 、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系FECABDFEDABC第 1 题图ABFDEC精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - -
10、 - - - - - - - - - - - -第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（ 1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(090) 后，如图所示， （1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由10、已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM（1） 如图 1， 如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图 1 中的ADE绕点A旋转到
11、图 2 的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由变式 1：已知：在RtABC中，AB=BC ，在 RtADE中， AD=DE ，连结 EC ，取 EC的中点 M ，连结 DM和 BM （1）若点 D在边 AC上，点 E在边 AB上且与点 B不重合，如图，探索BM 、DM的关系并给予证明；（2）如果将图中的ADE绕点 A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明DCBAEMMEABCDB E B E 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 7 页，共 24
12、页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载变式 :2 ：已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1） 如图，点D在AB上， 连接DM， 并延长DM交BC于点N， 可探究得出BD与BM的数量关系为；（2）如图，点D不在AB上， （1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由. NMDECABMECBAD变式 3： 四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，90BEF，BEEF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。（1）如图 24-1 ，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及
13、ECGC的值；（2）将图 24-1 中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2 所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图 24-1 中的BEF绕点B顺时针旋转（090） ，若1BE，2AB，当E，F，D三点共线时，求DF的长及 ABF的度数。考点二：截长补短法：核心母题如 图 ， AD BC， EA， EB分 别 平 分 DAB， CBA， CD过 点 E
14、， 求 证 ： AB=AD+BCACDGEFB图 24-1 图 24-2 ACDGEFBABCD备用图精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载图aFECBA图bFECBA练习：1、如图a， ABC和 CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接 AF和 BE. (1) 线段 AF和 BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2) 将图a中的 CEF绕点 C旋转一定的角度，得到图b，(1) 中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；、已知：如图，
15、ABC是等边三角形，120BDC， 求证：ADBDCD. 、已知四边形ABCD中，ABBC，60ABC，P为四边形ABCD的对角线BD上一点，且120APD，求证：PAPDPCBD2、在 ABC中，BAC=60 ，C=40，AP平分 BAC交 BC于 P，BQ平分 ABC交 AC于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。ABCDPBDCA精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3、如图，在ABC中，60ABC，AD ，CE分别为ACBBAC,的平分线，求
16、证：AC=AE+CD 4、如图，在 ABC中， AB=AC ，D是ABC外一点，且 ABD=60 ， ACD=60 求证： BD+DC=AB 215、已知：如图在ABC中， AB=AC ，D 为 ABC外一点， ABD=60 ， ADB=90 BDC ，求证： AB=BD DC 。考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题已知：如图，在RtABC中， BAC=90 ，AB=AC ，D是 BC边上一点，ADE=45 ，AD=DE ，求证： BD=EC. 练习：A B C D E O 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1、已 知 ： 如 图 ， 在 矩形 ABCD中 ， E、F 分 别 是 边 BC、 AB 上 的 点 ， 且 EF=ED， EF ED 求 证 ： AE 平分 BAD2、 两 个 全 等 的 含 30 ， 60角 的 三 角 板 ADE 和 三 角 板 ABC 如 图 所 示 放 置 ， E， A， C 三 点 在 一 条
