《2022年六年级奥数-第八讲.行程问题.教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年六年级奥数-第八讲.行程问题.教师版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八讲行程问题（二）教学目标：1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”；4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题知识精讲：比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“ 压轴知识点 ” 的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“ 得天独厚 ” 的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具
2、分析2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,vvtts s乙乙乙甲甲甲，；来表示，大体可分为以下两种情况：1.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。svtsvt甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即ttt乙甲,所以由ssttvv甲乙乙甲乙甲，得到sstvv甲乙乙甲，svsv甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比2.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。svtsvt甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即sss乙
3、甲，由svtsvt乙乙乙甲甲甲，得svtvt乙乙甲甲，vtvt甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。行程问题常用的解题方法有精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程， 常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和
4、折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以
5、顺利求解例题精讲：模块一、时间相同速度比等于路程比【例 1】甲、乙二人分别从A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达B 地和乙到达A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30 千米，则A、 B 两地相距多少千米？【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 程比为4 : 3第一次相遇时甲走了全程的4/7；
6、第二次相遇时甲、乙两个人共走了3 个全程，三个全程中甲走了453177个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777个全程所以A、B 两地相距2301057(千米 )【例 2】B 地在 A，C 两地之间甲从B 地到 A 地去送信，甲出发10 分后，乙从B 地出发到 C 地去送另一封信，乙出发后10 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3 倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：10 分钟10分钟10分钟CBA因
7、为丙的速度是甲、乙的3 倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3 倍，比乙多走两倍乙走需要10 分钟，所以丙用时间为：10 （31）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信5分钟5分钟10 分钟10分钟10分钟CBA当丙再回到B 点用 5 分钟，此时甲已经距B 地有 10105530（分钟），同理丙追及时间为30 （31）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B 地： 10551515=50（分钟），此时追及乙需要：50 （31）=25（分钟），返回 B 地需要 25 分钟所以共需要时间为5515152525=90（分钟）（2）同理先追及甲
8、需要时间为120 分钟【例 3】 ( “圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？【分析】 甲、乙两人速度比为80:604:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 全程的47，乙走了全程的37第二次甲停留，乙没有停留，
9、且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的47，甲行了全程的37由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3374，所以甲停留期间乙行了43317744，所以A、B两点的距离为1607=16804( 米) 【例 4】甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是5 : 4，相遇后甲的速度减少20% ，乙的速度增加20%这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有10 千米那么A、B 两地相距多少千米？【解析】 两车相遇时甲走了全程的59，乙走了全程的49，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，此时甲、乙的速度比为5 (
10、120%) : 4 (120%)5: 6，所以甲到达B 地时，乙又走了4689515，距离A 地58191545，所以A、 B 两地的距离为11045045(千米 )【例 5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地 下午2 点时两人之间的距离是15 千米下午3 点时，两人之间的距离还是l5 千米下午4 点时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块下午2 点时两人之间的距离是l5 千米下午3 点时，两人之间的距离还是l5 千米，所以下午2 点时小王距小张15 千米，下午3 点时小王超过小张 15 千米，可
11、知两人的速度差是每小时30 千米由下午3 点开始计算，小王再有1 小时就可走完全程，在这1 小时当中，小王比小张多走30 千米，那小张3 小时走了 15 30 45千米，故小张的速度是45 3 =15 千米 /时，小王的速度是15 30 =45 千米 /时全程是45 3 =135千米，小张走完全程用了135 15= 9 小时，所以他是上午10 点出发的。【例 6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。 陈明开车从甲地到乙地共用了3 小时，其中第一小时比第二小时多走15 千米，第二小时比第三小时多走25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小
12、时慢30 千米，走下坡路比走平路每小时快15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？【解析】 由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定从甲地到乙地共用3 小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1 小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1 小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路， 而第二小时则是全在走平路这样的话，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 由于下坡速度大于平路
13、速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1 小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1 小时的路程 (即第二小时走的路程)多走 15 千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15 千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1 小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一
14、段上坡路；第三小时全部在走上坡路由于第二小时比第三小时多走25 千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30 千米所以第二小时内用在走平路上的时间为525306小时，其余的16小时在走上坡路；因为第一小时比第二小时多走了15 千米，而61小时的下坡路比上坡路要多走130157.56千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为1157.5152小时，所以在第一小时中，有112263小时是在下坡路上走的，剩余的31小时是在平路上走的因此，陈明走下坡路用了32小时，走平路用了157366小时，走上坡路用了17166小时因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是2 7:4: 73 6那么下
15、坡路的速度为7301510574千米 /时，平路的速度是每小时1051590 千米，上坡路的速度是每小时 903060 千米那么甲、乙两地相距2771059060245366(千米 )模块二、路程相同速度比等于时间的反比【例 7】甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3 小时，甲先到B地，乙还需要1 小时到达B地，此时甲、乙共行了35 千米求A，B两地间的距离【分析】 甲用 3 小时行完全程，而乙需要4 小时，说明两人的速度之比为4: 3，那么在 3 小时内的路程之比也是4:3；又两人路程之和为35 千米，所以甲所走的路程为4352034千米，即A，B两地间的距离为20 千米精品p d f 资料
16、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 【例 8】在一圆形跑道上，甲从A 点、乙从B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】 由题意知，甲行4 分相当于乙行6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12 分，而乙行12 分相当于甲行8 分，所以甲环行一周需12820（分），乙需20 4 6 30（分） . 【例 9】上午 8 点整，甲从A 地出发匀速去B 地， 8 点 20 分甲与从B 地出发匀速去A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从B 地出发时是8 点几分【解析】甲、乙相遇时甲走了20 分钟，之后甲的速度提高到原来的3 倍，又走了10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10 3= 30 分钟，所以前后两段路程的比
