2018-2019 第二学期线性代数与空间解析几何试卷A 答案一、选择题1. 用jA 表示 3 阶行列式 A 的第 j 列（j=1,2,3 ）, 已知2A，则312123AAAA =（）. B (A) -6 (B) 6 (C) -27 (D) 27 2.(1, ,5)k能由向量组12(1, 3,2),(2, 1,1)线性表示，则 k 为（）.A (A) 8k(B) 8k(C)2k(D) 2k3. 二次型222123123(,)(1)(1)f x x xxxx ，当满足（）时，是正定二次型. C (A) 1(B) 1(C)1(D) 14. 设233012A，213301B，则 BA（）.C (A) 0 (B) 26 (C) -26 (D) 1 5. 要断言矩阵 A的秩为 r ，只需条件（）满足即可 . D (A) A 中有 r 阶子式不为 0 (B) A 中任何 r+1 阶子式为 0 (C) A 中不为 0 的子式的阶数小于等于r (D) A 中不为 0 的子式的最高阶数等于r 6. 若 A 为 n 阶方阵，且齐次线性方程组Ax= 0 有非零解，则它的系数行列式A（）. A (A) 必为 0 (B) 必不为 0 (C) 必为 1 (D) 可取任何值7. 对二次曲面，下列说法不正确的是（）. B(A) 方程032222zyx表示锥面(B) 方程2232yxz表示椭圆抛物面(C) 方程xy2表示抛物柱面(D) 方程19141222zyx表示单叶双曲面二、填空题8. 已知100011012A，120011000AB，则 B= . 1200220119. 设2( )54f xxx，且2133A，则()f A. (-5)100110. 设123,为 3 阶矩阵512143236的特征值，则123= . 15 11. 若齐次线性方程组0230520232132321kxxxxxxxx有非零解，则k=7.12. 设123123123,0,Vxx xxxxxx xxR，则 V是维向量空间 . 2 13. 已知向量3，2，5，则 . 21二、计算题14. （本题 7 分）设421532321A，求1*A. 解1*1AAA，.（2 分）又1A. （4 分）1*421532321AA.（7 分）15. （本题 8分）向量组 A：11111，21111，31111，41111，试求出A的秩及一个极大线性无关组. 解因111111118011111111，.（4 分）故1234,线性无关，向量组本身是极大线性无关组，(6 分) 其秩为 4。
8 分）16. （本题 9 分）用克莱姆法则求解线性方程组123123123120353.xxxxxxxxx，解方程组的系数行列式11112120351D，.（3 分）由克莱姆法则可知方程组有唯一解. 又11110212351D，21111012331D，31111202353D，.（6 分）所以方程组的唯一解为312123111.DDDxxxDDD，.（ 9 分）17. （本题 8 分） 设三阶方阵 A的三个特征值分别为1，13， 0.2324BAAE,求行列式 B 的值. 解 B 的特征值与 A的特征值的关系式为4232.（2 分）因此， B的三个特征值为5,5,4 .（5 分）所以，100455B.（8 分）18. （本题10 分） 设二次型32212221321442),(xxxxxxxxxf，用正交变换xpy把f化成标准形 . 解：（ 1）二次型对应的矩阵220212020A .（1 分）220|212(2)(1)(4)002EA解得A的特征值1232,1,4 .（4 分）将12代入特征方程得( 2)0A X11042004401122232232201011022022000000EA得方程组132312xxxx基础解系11,2,2T单位化得111 , 2,23T .（5 分）将21代入特征方程得()0EA X1011201201011202042000012021021021000EA得方程组132312xxxx基础解系为22,1,2 ,T单位化212,1,23T .（6 分）将34代入特征方程得(4)0EA X2202201024232012012024024000EA得方程组132322xxxx基础解系32,2,1T，单位化312,2,13T .（7分）令12312212123221p，得正交变换xpy .（9分）f的标准型22212324TTTfX AXY U AUYyyy .（10分）19. （本题 8 分）已知平面过)1,0 , 1(，与平面0zx垂直且与直线12211zyx平行。
求该平面的方程解：方法一：先求法式方程设该平面的法线的方向数为,A B C，则由题意得，020ACABC，解得:1: 0:1A B C4 分）所以所求平面的点法式方程为1(1)0(0)1(1)0 xyz，化为一般式为：0.xz.（8 分）方法二：待定系数法设平面的一般方程为0(,AxByCzDA B C不全为 0）由平面过点(1,0, 1)得：0ACD（1）由另两条件得：0AC（2）20ABC（3）联立（ 1），（ 2），（ 3）并解得:1: 0:1: 0A B CD4 分）故所求平面的方程为：0.xz.（8 分）四、证明题（ 1 小题，本题 5 分）20. 设nnijaA)(，且1A，又1AAT，试证EA不可逆 . 证 因)()(EAAAEAAAAEATTTTTTEAAEAA)()(.（ 3 分）上式两端去行列式得,(EAE)AAEAT.（4 分）从而, 0EA即EA不可逆5 分）。