用MOM计算无限长同轴线单位长度电容用MOM计算无限长同轴线单位长度电容 一、题目要求 同轴线内导体(如图1 所示) 半径为a ，外导体的内半径为b，内外导体间填充有均匀电介质, 介质常数为ε和μ0 内外导体可视为理想导体, 电流分布于导体表面求MOM计算同轴线单位长度的电容，并用matlab程序实现把其和电容公式进行比比较，并绘出电位分布图 图1 二 、原理分析 解析解：用高斯定理计算出电容公式： 1、做一个以内导体为轴、高度为l，半径为r的圆柱作为高斯积分面 2、 应用高斯定律可知： ， 故 3、 内外导体间的电压为: 4、 根据电容定义，同轴线单位长度的电容为 数值解： MOM 相对于空间某一零电位参考点而言, 内外导体表面的面电荷密度Ω 与导体电位诱可以通过下列积分方程联系起来： (?1/(2??))??(?)ln???dl?P??l‘(1) 式中l是圆的周长，?是电位，?和?分别表示观察点和源点的矢径，，?(?)为导体表面的电荷密度。
标量P 的大小取决于零电位参考点的选取当零电位参考点取远离源点时(当然不可取在无限远点)，P可近似视为常数 所有电荷应该满足电荷守恒定律，则满足条件： ??(?)dl?0l(2) (n)(n)(n)(n)首先, 将同轴线ln剖分为N份，?l1,?l2,....,?lN，并近似认为每一小段?lN上的 (n)电荷密度?为常数，记为?j，n?0,1,??????,N；j?0,1,??????,Nn在各段上定义分域脉 冲函数： fi(n)1???li(n)(?)?{0???li(n) (3) 并用它把待求的电荷密度展开成级数形式： ?(?)????(jn)fjn(?)n?0j?1NNn(4)， 则将（3）（4）式带入（1）（2）中分别得到 (?1/(2??))???(jn)?n?0j?1NNnNNn?l(jn)ln???dl?P?R(p)??(p)(5) ??an?0j?1(n)j?l(jn)?0(6) （5）式中R(p)为误差函数 接着，令该误差函数R(p)在每个小子段?lj的中点?j为零，即采用点选配法， (n)(n)R(?m,j)?0,m?0,1Nn,N;i?1,2,,Nm(7) 将（7）带入（5）中，得出： (?1/(2??))????n?0j?1N(n)j?li(n)ln?i(m)??dl?P??(?i(m))(8) m?0,1,,N;i?1,2,,Nm （8）和（6）分别可以用下列矩阵表示出来： ?T?A?B ?LA?0式中 T(9) (10) ?T00?T?????T?N0(m,n)?t1,1??Tmn????t(m,n)?Nm,1T0N???TNN??,N(11) (m,n)?t1,Nn?, n?0,1,?, m?0,1,N(m,n)?tNm,Nn?(12) ?A0??A?A??1?,?????AN??B0??B?B??1?,?????BN??b1(m)??(m)?b2?Bm??,???(m)??bNm???1(m)??ln???dl,i(n)??lj2??(13) (14) (15) ,n)ti(,mj(16) (17) bi(m)??(?i(m))?P,为了消除P这一没有用的未知常数，可将方程（9）中?T?与B中的每一行减去第一行得： ?S?A?D(m,n)(0,n)?t1,1?t1,1???S??m,n???t(m,n)?t(0,n)?Nm,11,1(m,n)(0,n)?t1,Nn?t1,N??(m,n)(0,n)?tN?t,N1,Nmn?(18) (19) m,n?0,1,,N ?D0??D?D??1?,?????DN???(?1m)??(?10)??m0??(?)??(?21)?Dm??,???m0??(?)??(??Nm1)???(20) m?0,1,,N(21) 显然（18）式中?S?和D的第一行元素全部为零，联立方程（10）和（18）求解A等效为下列矩阵方程： A??S?D进而将（22）式带入（4）中求得导体表面的面电荷密度分布为 ?(?)?F(?)AT?1(22) (23) ?F0??F?F??1??????FN??f1(n)??(n)?f2??Fn????(n)???fNn??Fn中的元素由（3）给出。
导体上单位长度净电荷Qn应为： (24) (25)Qn??LTnAn, 显然，其单位长度总电荷Q依电荷约束条件应为零 n?0,1,,N(26)TQ??Qn???LTnAn??LA?0n?0n?0NN(27) 将每一小子段?lj近似为直线段该直线上任意点坐标(x,y)可表示为： (n)x?x(jn)???x(jn)y?y(n)j(28)(29)???y(n)j n)式中(x(jn),y(jn))和(?x(jn),?y(jn))分别表示该小段直线段?l(j的中点坐标和首尾式所示.n)可表示为 ti(,mjti(,mj.n)??4???1?l(jn)ln[(xi(m)?x)2?(yi(m)?y)2]dlln(a?b??c?2)d?4??(30)?? 式中 ?l(jn)?1/2?1/2a?(xi(m)?x(jn))2?(yi(m)?y(jn))2b??2(xi(m)?x(jn))?x(jn)?2(yi(m)?y(jn))?yi(n)2c?(?x(jn))2?(?yi(n))2?(?lm)j 积分化简后得 ti(,mj.n)?{(??l(jn)/(4??))[ln(c/4)?2],m?n;i?jb(??l(jn)/(4??))[(??)ln(a?b??c?2)?2u]2c(31)?(4ac?b2/c)tan?1(2cu?b)/4ac?b2)]1/2u??1/2,i?j 这样我们就求出了系数矩阵，根据公式（1）可得同轴线电流面密度，电流面密度积分后 得到总的电量。
最后根据电容公式Q/U即可得到电容，这里我们取内导体电势为0，外导体电势为-1 三、程序 clf clc clear all a=0.1; A=0.2:0.1:1; s=size(A); N1=11; e=8.854e-12; mu=pi*4e-7; for K=1:s(2) AA=A(K); dal_n=2*pi*a/N1; N2=2*pi*AA/dal_n; div1=2*pi/N1; 5 / 5。