流体力学第三章流体运动学与动力学基础第三章 流体运动学与动力学基础 主要内容 ? 基本概念 ? 欧拉运动微分方程 ? 连续性方程——质量守恒* ? 伯努利方程——能量守恒** 重点 ? 动量方程——动量守恒** 难点 ? 方程的应用 第一节 研究流体运动的两种方法 ? 流体质点：物理点是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常 微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性） ? 空间点：几何点，表示空间位置 流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象 一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method 1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律 2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则： x = x(a,b,c,t) y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t) 4、适用情况：流体的振动和波动问题 5、优点： 可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化 缺点：不便于研究整个流场的特性 二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method 1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律 2、欧拉变数：空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数 3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数 位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： ux=ux（x,y,z,t） uy=uy（x,y,z,t） uz=uz（x,y,z,t） 同理： p=p（x,y,z,t） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x、y、z也是时间t的函数。
加速度： ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx?t?x?y?z ay?az??uy?t?ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z ?uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz?t?x?y?z 全加速度＝当地加速度＋迁移加速度 当地加速度：在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率 迁移加速度：流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率 说明：两种方法具有互换性但由于欧拉法较简单，且本书着重讨论流场的整体运动特性所以，采用欧拉法研究问题 四、流场分类 1、 三元流场：凡具有三个坐标自变量的流场称为三元流场（或三维流场） 一般来说，速度是三个坐标自变量的函数：V=V (x,y,z,t) 2、二元流场：凡具有两个坐标自变量的流场 3、一元流场：具有一个坐标自变量的流场 管截面A=A(l)，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场B=B(l, t) ??11??2452u?xyi?xyj?xyk2——二维流场 第二节 流体运动的基本概念 一、稳定流动和不稳定流动 1、不稳定流动（非定常流场）：经过空间点流体质点运动参数的全部或者部分随时间而变化的流动。
物理参数场与时间有关者） p=p（x,y,z,t） u=u（x,y,z,t） 2、稳定流动（定常流场）：物理参数场与时间无关的流动 p=p（x,y,z） u=u（x,y,z） ax?ux?ux?u?u?uyx?uzx?x?y?z ay?uxaz?ux ?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z ?uz?u?u?uyz?uzz?x?y?z 二、迹线和流线 1、迹线：（拉格朗日法） ① 定义：流体质点在一段时间内运动所经过的路线 ② 迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关 ③ 迹线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求出 由欧拉法： ux=ux（x,y,z,t） uy=uy（x,y,z,t） uz=uz（x,y,z,t） 但 ux?dxdydzuy?uz?dt dt dt 则 dxdydz???dtuxuyuz ——这就是迹线微分方程式。
2、流线：（欧拉法） ① 定义：是某一瞬时流场中的一条曲线，该曲线上所有质点的速度矢量都和该曲线相切——表示流场在某一瞬时的流动方向 ② 流线的特性： 不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化； 稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合； 流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折 特例：点源、点汇、驻点、相切点 ③ 流线方程： dxdydzds???uxuyuzu 证明：在M点沿流线方向取有向微元长dS 设dS=idx+jdy+kdz，M点质点速度为u， u=iux+juy+kuz 因为 u //dS ， 所以 udS=0 dxdydz??uuuz ——证毕 y则： x④ 例题： ?ux?x?t??uy??y?t?u?0z已知：? 求：t＝0 时，A（－1，1）点流线的方程 dxdy?解： x?t?y?t 积分：ln(x+t)=-ln(-y+t)+C → (x+t) (-y+t)=C` 当t＝0时，x＝－1，y＝1，代入上式得： C`＝1 所以，过A（－1，1）点流线的方程为：xy＝－1 ⑤ 流线的绘制方法：采用微元长切线方法 P49 三、流管、流束、总流 1、流管： 图3－8 流管 ① 定义：在流场内画一条曲线，从曲线上每一点做流线，由许多流线围成的管子。
（人为引入的一个虚构空间） ② 特性： A. 流管内外无流体质点交换 B. 稳定流时，流管形状不随时间而变 2、流束：充满在流管内部的流体 微小流束：断面无穷小的流束——断面上各点运动要素相等 5 / 5。