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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -概率论正态分布概率论 : 正态分布第 四 章 正 态 分 布第一节其次节第三节第四节第五节正态分布的密度函数正态分布的数字特点正态分布的线性性质二维正态分布中心极限定理正态分布的密度函数正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上讨论最多的分布之一, 它在概率统计中占有特殊重要的地位. 比如 , 考察一群人的身高, 个体的身高作为一个随机变量 , 其取值特点是 : 在平均身高邻近的人较多, 特 别高和特殊矮的人较少. 一个班的一次考试成果、测 量误差等均有类似的特点. 高斯在讨论误差理论时曾用它来刻画误差 , 因
2、此许多文献中亦称之为高斯分布 .进一步的理论讨论说明, 一个变量假如受到大量独立的因素的影响 无主导因素 , 就它一般听从正态分布 , 这是中心极限定理探讨的问题.一.一般正态分布1.定义如随机变量 X 的密度函数为1 22 f xe 2其中x x2式中为实数 ,0 . 就称 X 听从参数为,2 的正态分布, 亦称高斯分布 . 记为 N,2. 可表为 X N,2.图象见右上角正态分布有两个特性：1单峰对称密度曲线关于直线x=对称1 f maxfx 22分布也称为的大小直接影响概率的分布高斯 Gauss 分布越大 , 曲线越平整 ;越小，曲线越陡峻.正态N 4,3 / 5N 4,1N 4,7 /
3、 5二.标准正态分布参数 0，2 1 的正态分布称为标准正态分布，记作 XN0, 1；x其密度函数为第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1x2xx2e 242 010 x P Xxt2x 1 e 2 22+ 1； dt ,xf x1 e 23x 1 x.一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅x 的值 .P328 附表 1 如 , 如 XN（ 0,1,=0.6915, 正态分布的数字特点 一一般正态分布N,2 x2 221X f xe 2,xE X xf xdxt xt22 edt
4、 2xe 2 x2 22D X f x dx二 标准正态分布N0, 1 X f x第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -E X x2e 2,xx2e 2 dx xf x dx0 奇函数 D X E XE X 2x xE X f xdxx2e 2 dx三.一般正态分布概率的运算如 X N,2,0, 就有 F x P Xxx1 e 2t 2 22xF xPXxPPZ x. x / t21 e 2 dt 2 一般地 , 有例 1 设随机变量X N 1, 2 ,求 P1.6X2.4解 P1.6X2.4
5、P1.61X12.41P2.6X11.4 / 2 X1 / / 2P1.3 X1 / 20.71 .第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -XbPaXb abaXPPZbaPZPabPZZ N 0,1 ba 2例 2.设 XN,2, 求 P-3解 P3X3P3X3P3X3P3X3P3 X /33331323此题结果称为3原就 . 在工程应用中 , 通常认为P|X| 31，忽视 |X|3的值 .如在质量掌握中 ,常用标准指标值3作两条线 , 当生产过程的指标观看值落在两线之外时发出警报 , 说明生
6、产显现反常.例 3设随机变量X N 2,2 ,且 P2X40 .3,求 P X0.随机变量解 P2X4P0 X2 /2 /标准化2 /00.3,2 /0.30P X0P X2 /2 /2 /12/ 1 0.8 0.2 例 4 设 随 机 变 量 X N 3, 4 ,且 常数 C 满意 P X C P X C , 求 常 数 C . 解 由 P X C P X C, 即 1 P X C P X C 所 以 P X C 0.5 X 3 C 3 C 3 另 一 方 面 , P XCP 0.5 2 2 2 C30 ,C3. 2例 42021年 A设 X N 0 , 1,对于给定的0,1,数 B满意 P
7、 X.如 P Xx,就 x等于 D1解 P XxP xXx1P Xx2故 x1一种电子元件的使用寿命 小时 听从正态分布 100,152, 某仪器上装有 3 个这种元件 , 三个元件 损坏与否是相互独立的 . 求： 使用的最初 90 小时内无 一元件损坏的概率 . 解: 设 Y 为使用的最初 90 小时内损坏的元件数, 就 Y第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -90100 0.2514其中 pP X90 15PY01p 30.4195故2 2021年设随机变量 X N 1 ,12 , Y N
8、 2 ,2 ,且 P X11P Y21,就必有 A12 . B 12 . C 12 . B12 .其次节正态分布的数字特点一 .一般正态分布N,2 x2 221X f xe 2,xE X xf xdxt xt22 edt 2xe 2 x2 22D X f x dx标准正态分布N0, 1 X f xE X x2e 2,xx2e 2 dx xf x dx0 奇函数 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -D X E XE X 2x xE X f xdxx2e 2 dx例 1 已知随机变量X 的密度函
9、数为1x 22 x1 f xe ,x求 E X 、D X .f xx2 x11e 21/ 2 x1 2 21/ 2 21故1,2例 2 设 X 听从 N0， 1 分布，求 EX2,EX31解f xe 2x2 x22E X 2 x 2 f xdxe dx 22 2xde 2x2x 2eE X 3xf x dxx2 x32e dxx2e 2 dx1第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2021年 数一 设随机变量X 的分布函数为F x0.3 x0.7其中 x为标准正态分布函数,就 EX A0. B 0.3. C 0.7. D1. x1 , 2分析 : EXxf x dx ,因此先求随机变量X 的概率密度函数f x .解 f x F x 0 . 3 x 0 . 7 0 .7 x10 . 3 x 2 2于是 EXx1 2xf x dxx0.3 x 0 .7 x1 dx 2 20.7x10.3x xdxx dx2 210 .3xe20 .7dxx 21 x1 2 2 21 x1 2 1 2 2 e dx 20 .7 1 x2e 21 x1 2 0 .71 2 2 dx dxx 2e 2 x1 令t ,就 dx2dt , x2t1.代入上式得20 .7
