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1、现代控制理论,第13次课若干准备知识李雅普诺夫第二方法（直接法）LTI系统稳定性的判别,如果稳定与否与观察的初始时刻无关，就叫做一致稳定,系统受扰后能否回到平衡状态？,系统,平衡状态,系统受到外界的干扰，初始状态偏离 ，变成,状态轨迹是,用范数来衡量偏离平衡状态的程度,李亚普诺夫意义下稳定：,有界,渐近稳定：,Review,李雅普诺夫意义下的稳定,准确定义：,含义：系统受到扰动后偏离平衡状态。扰动撤销后，状态轨迹与平衡状态的偏差总是有界的。偏差要小于某一个给定的正数，就要求初始状态在平衡状态的某一邻域内。稳定与否，针对的是所考虑的平衡状态。,Review,李雅普诺夫意义下的稳定（续）,对于时变
2、系统，它与观测的初始时刻 有关。如果邻域半径与时间无关，则称为“一致”稳定。 “一致”，就意味着与时间无关。,是平衡状态的邻域,是邻域的半径，刻画了邻域的大小,向量的范数：对于n维向量,如果不说明，则可理解为向量的2范数，即欧氏范数, 范数,Review,李氏稳定的几何解释,要求状态轨迹在平衡状态的红色邻域内，那么初始状态就应该在平衡状态的蓝色邻域内。,Review,如果邻域半径 为无穷大，则称为大范围渐近稳定。,渐近稳定 vs 大范围渐近稳定,渐近稳定的定义：,含义：1）李雅普诺夫意义下稳定；2）状态轨迹最后能够回到平衡状态。如果邻域半径 与时间无关，则是渐近一致稳定的。,Review,渐近
3、稳定 vs 大范围渐近稳定（续）,对于大范围渐近稳定，无论系统受扰后偏离平衡状态有多远，最后都能回到平衡状态。,大范围渐近稳定的必要条件：在整个状态空间中只有唯一的平衡状态。,对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必然是大范围渐近稳定性的（线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。对于非线性系统，没有大范围渐近稳定的说法。,Review,不稳定的定义,含义：不管初始状态与平衡状态的偏差有多么小，状态轨迹与平衡状态的偏差总是要“跑出去”。,比较一下不稳定与稳定。是逻辑上的否命题,Review,李氏不稳定的几何解释,平衡状态有一个红色邻域，不管初始状态如何取，状态轨迹不可能始终在红色邻域之内，一定会“越轨
4、”。,Review,系统稳定的充要条件：状态矩阵的特征值都具有负实部。一旦某个特征值的实部为正，则系统不稳定。某些特征值的实部为负，某些为零，则必须回到原来的状态方程，重新判断。,李氏第一方法（间接法）,系统,在平衡状态处把状态方程线性化，得到,用间接法来判断线性系统的稳定性，我们早已熟悉。,Review,间接法用于非线性系统,系统,平衡状态,在平衡状态附近线性化,是二阶以上各项的和,式中,雅可比矩阵,Review,间接法用于非线性系统（续）,定义新变量,并注意到,得到在平衡状态附近线性化后的方程,其中,1、稳定的充要条件：A矩阵的特征值都具有负实部。2、一旦某个特征值的实部为正，则系统不稳定
5、。3、某些特征值的实部为负、某些为零，则必须回到原来的状态方程，重新判断。,这时，稳定与否与 有关,Review,数量、向量函数对向量求导,数量函数,它的自变量是,标量对向量的微分是个向量。也记做,向量函数,向量对向量的微分是个矩阵,雅可比矩阵,注意：,各种教材中记号并不统一。留意,Review,Agenda,准备知识李雅普诺夫第二方法（直接法）LTI系统稳定性的判别,标量函数 ，其自变量是 n 维向量。有如下定义：,正定、负定与不定,前提：原点处取值为0，即,是正定的，如果,是正半定的，如果,是负定的，如果,是负半定的，如果,是不定的，当 时 可正可负,二次型,是一个标量函数,式中,对称矩阵
6、,例如,二次型正(半)定/负(半)定/不定,对称实矩阵的特征值均为实数，可以通过正交相似变换化为对角矩阵二次型正定：A矩阵的特征值均为正实数二次型正半定：A矩阵的特征值均不小于零二次型负定：A矩阵的特征值均为负实数二次型负半定：A矩阵的特征值均不大于零二次型不定：A矩阵的特征值有正有负,Agenda,准备知识李雅普诺夫第二方法（直接法）LTI系统稳定性的判别,李雅普诺夫第二方法（直接法）,思路：构造李雅普诺夫函数（广义能量函数）V(x)，根据V(x)对时间的导数来判断系统在平衡状态处的稳定性。要求：V(x)是单值的标量函数，正定，在平衡状态附近对各状态分量均具有一阶连续偏导数。,平衡状态在原点
7、处,只考虑非时变的自治系统,直接法判别渐近稳定,平衡状态,定常自治系统,构造李雅普诺夫函数,1、如果,是负定的，,则系统在原点处渐近稳定,2、如果,是负半定的，,但沿着状态轨迹，它不恒为零，,则系统在原点处渐近稳定,说明：这是充分条件；系统能量递减，最后必然稳定,直接法判别李雅普诺夫意义下的稳定,平衡状态,定常自治系统,构造李雅普诺夫函数,如果,是负半定的，,但沿着状态轨迹，它恒为零，,则系统在原点处是李雅普诺夫意义下稳定的,说明：系统维持等能量运动，状态轨迹不返回原点,直接法判别不稳定,平衡状态,定常自治系统,构造李雅普诺夫函数,1、如果,是正定的，,则系统在原点处是不稳定的,说明：能量随着
8、时间持续增大，最后状态轨迹必然越来越远离原点,2、如果,是正半定的，,但沿着状态轨迹，它不恒为零，,则系统在原点处是不稳定的,李氏第二方法（直接法）的步骤,构造李雅普诺夫函数 V(x)求V(x)对时间的导数，并把状态方程代入判断 V(x)/dt 的定号性如果必要，继续判断沿着状态轨迹，V(x)/dt 是否恒为零得到结论：渐近稳定、不稳定、李雅普诺夫意义下稳定没有通用的构造李雅普诺夫函数 V(x) 的方法，也不唯一。仅仅是充分条件,直接法例题1：求平衡状态,系统方程,判断在平衡状态处的稳定性,解题步骤：1、求出平衡状态处；2、构造李雅普诺夫函数；3、求导、化简；4、判断定号性,令,容易求得唯一的
9、平衡状态,尝试一下第一方法（间接法）先,特征值 -j、j，实部为0，无法判断,直接法例题1（续1）：计算与判断,构造李雅普诺夫函数,对时间求导，有,把状态方程代入，化简，得到,这显然是负定的,所以，系统在平衡状态（原点）是渐近稳定的,由于李雅普诺夫函数与时间无关，从而是一致稳定的。注意到系统只有一个平衡状态，无论初始状态在何处（非原点），广义能量函数的导数都小于零，所以系统是大范围稳定的。结论：系统在原点处是大范围渐近一致稳定的,直接法例题1（续2）：几何解释,等能量线是同心圆。由外向内，能量减小。等能量线充满整个状态平面。,负定,沿着状态轨迹，能量减小,而系统只有一个平衡状态，原点，在原点处
10、系统能量最小。,结论：系统在原点处是大范围渐近一致稳定的,直接法例题2：求平衡状态,系统方程,判断在平衡状态处的稳定性,这是LTI系统，容易求得唯一的平衡状态，原点,尝试一下第一方法（间接法）先,特征值实部均小于0，在原点处渐近稳定。由于是LTI系统，所以也是大范围渐近一致稳定的。,直接法例题2（续）：计算与判断,构造李雅普诺夫函数,对时间求导，有,把状态方程代入，化简，得到,负半定,即，除原点外，李雅普诺夫函数的导数不恒为零,从而，系统在原点处是渐近稳定的。由于是LTI系统，进而有：系统在原点处是大范围渐近一致稳定的,令,结合状态方程，知道，仅当,直接法例题3：李氏意义下稳定,系统方程,判断
11、在平衡状态处的稳定性,这是LTI系统，容易求得唯一的平衡状态，原点,注：第一方法（间接法）无法得到结论,构造李雅普诺夫函数,对时间求导，并代入状态方程，有,零函数可以认为是正半定的，或者负半定的所以，系统在原点处是李雅普诺夫意义下稳定的。,Agenda,准备知识李雅普诺夫第二方法（直接法）LTI系统稳定性的判别,LTI系统稳定性的判别有何特点？,LTI自治系统,如果A非奇异，则有唯一的平衡状态，原点,可以使用间接法来判别原点处的稳定性。但一旦有特征值的实部为零，则间接法无法处理。,如果系统在原点处稳定，则必然是大范围渐近一致稳定。,如果使用直接法，则问题的关键是如何构造李雅普诺夫函数。,选用二次型的李雅普诺夫函数,取,而,令,则,只要 Q 正定，则 负定，从而系统在原点处是大范围渐近一致稳定的。一般是选取正定或半正定的Q矩阵，反过来求对称正定或正半定的P矩阵，这样方便。比如，Q取单位阵，或者允许对角线上某些元素为零。,LTI系统直接法的例子,LTI自治系统,判断在平衡状态处的稳定性,A非奇异，系统有唯一的平衡状态,取,则,令,则有,做矩阵运算，并比较相应的元素，可得,显然正定,结论：大范围渐近一致稳定的,Recapitulation小结,李雅普诺夫第二方法（直接法）用直接法判断LTI系统的稳定性下次课内容：非线性作业,
