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1、因子分析模型L的优良性基金项H:教存部人文社会科学研究规划基金项H资助，项H号：2009YJA910002；教存部人文社会科学重点研究基 地重人项B资助，项目号：2009JJD910001；广东省普通商校人文社科研究项目资助，项B号：10WYXM 020；广东商 学院科学研究重点项目资助，项目号：08ZD11001:广东商学院平商学院院级重点项目资助，项目号：HS2011047。一献给我的母亲林淑霞女士林海明（广东商学院1.国民经济研究中心，2.华商学院，广州510320）摘要：因了分析是多元统计降维的方法之一，但传统的因了分析模型，公因了解不能降维或火去了一些变景的解释，故因子分析需要找出更
2、好的模型，更好模型的确定需要有优良性标准，为此，这 里用因了分析的木思想、方差贡献、简单结构、误差方差，提出了因了分析降维性、解释性、拟合 性呈化的优良性标准，由此证明丫：笔者改进的因了分析模型L是因子分析更好的模型，给出了初始 因子和旋转后因子的极用条件。丼用实际数据说明了： W子分析模型L是优良的方法，最人似然法、 主因子法有吋是误差较大的方法。关键词：因子分析模型L;优良性；实证The Superiority of Factor Analysis Model LDedicated to my mother Miss Lin ShuxiaLin HaimingGuangdong Unive
3、rsity of Business Studies: 1. Research Center of the National Economy 2. Huashang College，Guangzhou 510320, China.Abstract: Because of the prevalence of the factor analysis model，common factor solution not being able to reduce dimensionality or an explanation of the loss of a number of variables，the
4、refore，the factor analysis needs to find a better model，and the confirmation of a better model needs for a good standard. To this end，here it is used the basic idea, variance contribution，simple structure and the error variance of the factor analysis to put forward its dimensionality reduction, expl
5、anation, and the superior standards of fit quantitative evidence. It proves that the improved Factor Analysis Model L by writer is a better model for factor analysis，having given the application conditions of initial factor and rotated factor. The actual data has been illustrated: Factor Analysis Mo
6、del L is a good method, the maximum likelihood method and the principal factor method is sometimes of a bigger error.Keywords: Factor Analysis Model L; superiority; empirical1引言因子分析起自1904年，C.Spearman发表的论文“对智力测验得分进行统计分析”，U前，因子分 析是多元统计降维的重要方法之一，其应用已十分的广泛，在解决心理学、教育学、经济学、社会学、 生物学、医学和体育学等领域的多指标（变量）体系问题中，
7、因子分析都収得了姑著的成绩。因子分析的木思想是通过变S相关阵内部结构，找出能控制所冇变量的少数几个因了，去解释多个变呈 之的相关关系，以达到降维的bl的。传统的因子分析模型是2j:有P维的可观测随机向量X=(AV”，；，(%)=/=(川，W, Cov(x)= E = (%)pXp,要求JV是线性依赖于几个不能观测的称之为公因了的随机向fi/XF,，F,)和附加的称之为误差(或特殊因子)的随机A景具体是 = ,ii 厂 1 + + IjFj + + Um + e、 X2 /2 = 211 +十么久 + + l2mFm +2x p- gp: lpF十+ 匕+又+p 或矩阵表示足(1.1)(1.2)
8、(1.3)X-p = LF+s，I=(/)PXW；公因子载荷阵。且设CovUF) = 0, *(F) = 0, C?v(F)=/,(单位阵)，() = 0,(V/,称为误差方差)V, 0 0、0 % . 5 :0 o0上述关系与假设构成正交W了分析模型。不难看出：流行Y 100多年的传统因子分析模型没有优化条件。参照主成分分析能降维，足因为主成分有方差最大化的条件，故因子分析模型要能降维，没有优化条件是一个缺陷。文3 (1982)指 出：因子分析的模型和理论是很不完善的，还存在许多14题。为此，笔者文4 (2006)用因子的万差贡 献和达到最人的式(2. 3)(见第2部分)，取代了式(1.3)
9、，建立了改进的因子分析模型L。文5 (2007) 用因子分析模型L求岀了因子分析模型式(1. 1)-(1. 3)的精确解，得出了公因子F的解不能降维或失去 了一些变景的解释，即因子分析模型不是更好的模型。文6 (2009)用标准化主成分法等证明了因子分 析模型L的解足：标准化主成分及其载萜阵或它们的旋转。但文4-6没有说明：因子分析模型L是否为因子分析更好的模型。更好模型的确定需要优良性标 准，对于因子载荷阵，估计方法有主成分法、最人似然法、主因子法等，优&性标准有简单结构:2， 但迄今没宵明确哪个方法估计的因子载荷阵更好。对于因子，估计方法宥回归法、加权最小二乘法等， 优良性标准有无偏性、平
10、均预报误差，但迄今不能明确哪个方法估计的因子更好一点7。文2提ill了 因子分析最好方法的标准：“S好的方法是保留少数几个因子而不是许多因子，只要它们能对数据给出 满意的解释外对协差阵Z或相关阵/?得出满意的拟合。”似文2宥“因子分析模型不幸的足，评价因 子分析质跫的法则尚未很好量化，质量问题似乎只好依赖一个哇准则：如果在仔细检查因子分析 的吋候，研究者能够喊出畦，我明白了这些因子的时候，就可看着是成功运用了因子分析。”据检索，国外文8-9等近期文献，仍然在使用有缺陷的因子分析模型，还没有文献解决因子分析 更好模型的问题。这里应用因子分析的基本思想、方差贡献、简单结构、误差方差，提!II了因子
11、分析 降维性、解释性、拟合性景化的优良性标准，证明了 W子分析模型L是因子分析更好的模型，给出了：初始因了和旋转P因了的应用条件，因了分析模型L优良性的实证等。2主要结果这甩先给出笔者近期改进的：因子分析模型L 1有维的XT观测随机向量，p)，(X)=/=(川，W，Cov(X)= E = ()px/?,要求x是线性依赖于少数几个不能观测的称之为因子的随机MM/=(儿，人ya/7)和附加的 称之为误差的随机向量5=(么，么)，即h = n/i + + bjfj + + blkfk + 8X2 2= b2f七七blifj +么.八+ AxP - Ap = bpf + + 人 4+ bpkfk +
12、Sp 或矩阵表示是X-p=Bf+d，(2. 1)忍=(M#称为因子载荷P$,称为变量X在因子y；上的载荷，且(5) = 0, (/) = ()，Cbv(/) = A(单位阵)，Cov(3，/) = 0，(2.2)求B、/，使：什(5忍)达到最人什是方阵的迹)，(2. 3)式(2. 1)-(2. 3)称为正交因子分析模型L。设E的特征值为A,、各，人彡彡冬彡0,相应的单位正交特征向量为,&,记b0=u;/2 岣，4/2。)，/ = U1/2，“U;1/2er(X-;)，(前 *个标准化主成分),称#为初始因了载荷阵，/为初始因了。设r是使B0r达到方差最大化的正交旋转阵3，记Br=B()r,/=
13、ry0 (前个标准化主成分/方差敁大化的正交旋转)，称忍为旋转后因子载荷阵，/为旋转后因子。引理1:6因子分析模型L的解：B=B0, f=f，max侈。引理261因子分析模型L的解：B = Br，f=fr, max /r(茗)=!；%,由引言中提到的因了分析菽木思想，对少数几个因了/=(7i，人)有3点想法:能降维：能解 释变量AT;能满意的拟合变量JV的相关关系|(g2-5. 14|。这3点想法足符合因子分析解决实际问题 需要的，故以下用这3点想法作为因子分析优良性的基础，给出因子分析降维性、解释性、拟合性量 化的优良性标准。因为式(2. 1)-(2. 2)与式(1. 1)-(1. 2)是相
14、同的，故因子分析优良性标准以式(2. 1) (2. 2)为前提。对想法，由式(2.1)，对其p个方程逐个取方差，由式(2.2)有O| = Z?,2| + + bj + + bk + Var ( + + z + + bf. + Vcir (2)s = 6 + + 以 + + 4 + y(sp)由此，因子力对x的影响由因子载荷阵5中第y列的元素(载荷)来描述，于是b中第y列的元素 的平方和。=I：f=1称为因子力对;v的方差贡献，v;的值越大，反映了力对x的影响也越大。理， S-=1v7. =z =,!；：,Zr(BJ5)称为因子(/对X)的方差贡献和，Zr(g)的位越人，反映了 /对X的影响也越大，/对X的降维效果也越好，故有W子分析优以性标准1:降维性式(2. 1)-(2. 2)下，因子/对X能降维是：因子的方差贡献和Zr(J55)达到最人。对想法，因子能解释变量X是简单结构，即各变量在某单个因子上高额载荷的绝对伉越大时， 因了解释变朵JV的效果越好。变撒X标准化下，由式(2. 1)-(2.2),因子载荷阵忍=()的载荷 是变量A；与因子力的相关系数(X非标准化时，/v(X)=/?，由式(2. 1)-(2. 2)，R-CovBf=Cov, E
