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1、金属塑性变形理论第五讲Lesson FiveZhang GuijieTel：0315-2592155E-Mail： Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 063009金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件Lesson 5Lesson 5第十章 应力状态分析主要内容Main Contento 应力状态基本概念 o 斜面上任一点应力状态分析 o 求和约定和应力张量 o 主应力及主切应力 o 球应力及偏差应力 金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课
2、件2021/11/82Lesson 5Lesson 510.4 主应力及主切应力o10.4.1 主应力的概念o 通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力，该坐标面为主平面。 金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/83Lesson 5Lesson 5金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/84Lesson 5Lesson 5金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/85Lesson 5Lesson 5主应力的求解o 如果取微分面ABC为主微分面，即该微分面上只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面上的全
3、应力就是主应力。用 表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为 金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/86Lesson 5Lesson 5o 代入到斜面应力方程中有整理后可得又有（*）（*）金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/87Lesson 5Lesson 5o 由上面四个方程可求出主应力s及其方向余弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有l = m = n = 0这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即 金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/88Lesson 5Lesson 5o 展
4、开此行列式，得令则有金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/89Lesson 5Lesson 5o 三次方程式称为应力状态特征方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知 由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有展开后得金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/810Lesson 5Lesson 5应力张量不变量 对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称为一次、二次和三次应力常量
5、，或称为应力张量不变量。金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/811Lesson 5Lesson 5主应力的特点o 三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的o 将主应力s1代入（*）式中的任何两个方程，并与（*）式联立，可以求解出主应力s1的方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主应力s2及s3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、n3 。o 每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/812Lesson 5Lesson 5o 三个主应力均为实根 o 主应力具有极值性质o 三个主应力中的最大值赋给s1，最小值赋给s
6、3，并按大小顺序排列s1s2s3，则过该点任意微分斜面上的正应力中，s1为最大值，s3为最小值。 金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/813Lesson 5Lesson 5主坐标系o 因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐标轴称为主轴。s2s12(y)3(z)1(x)s3金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/814Lesson 5Lesson 5o 在主坐标系下斜面上的应力为或正应力为主应力张量金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/815Lesson 5Lesson 510.4.2 主切应
7、力和最大切应力 o 主切应力o 任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。 o 在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力o 上式中消去n，得到tn与l、m的函数关系 金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/816Lesson 5Lesson 5o 当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得微分面上的切应力的极值。 金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/817Lesson 5Lesson 5对此方程组求解分不同情况o 当s1s2s3时，1） ，
8、此解指主微分面上切应力为零2） 时， 3） 时， 4） 时，此种情况不可能成立。 5）若方程中消去m，则有 金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/818Lesson 5Lesson 5l0m0n0金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/819Lesson 5Lesson 5o 当s1s2s3时，则切应力在通过该点的任何微分面上为零。o 主切应力 o 最大切应力金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/820Lesson 5Lesson 5l000m000n000切应应力000正应应力主平面和主切平面上所作用的应力 金属塑性变形理论第2
9、3讲主应力及主切应力课件2021/11/821Lesson 5Lesson 5练习o 已知变形体内某点的应力状态 N/mm2 试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/822Lesson 5Lesson 5o 解：s（1） = 60MPa为一主应力。y面y向缩减应力张量的维数金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/823Lesson 5Lesson 5写出该张量的特征方程展开并求解金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/824Lesson 5Lesson 5o 按大小顺序排列后，得到o 求s1的方向余弦。将s1代入到（*）式中与 联立求解，因m = 0，所以有解得：或金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/825Lesson 5Lesson 5o 同理可求得s2、s3的方向余弦o s2o s3或或xzs 1s 3金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/826Lesson 5Lesson 5课后作业Homeworko 习题集P6习题19、23、26o 习题集P6习题36写在作业纸上，下周一交。金属塑性变形理论第23讲主应力及主切应力课件2021/11/827
