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1、哈尔滨工业大学2021现代控制理论基础考试题A卷及答案 哈工大2021年春季学期 现代掌握理论基础 试题A答案 一（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L，摆杆的质量忽视不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧， 1与 2分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当 1 2时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力f(t)作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满意近似式sin ，cos 1。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 f Lcos k L sin sin Lco
2、s MgLsin ML2 111211 222 对右边的质量块，有 k L sin sin Lcos MgLsin ML2 21222 22 在位移足够小的条件下，近似写成： f kL Mg ML 1121 24 kL Mg ML 2122 4 即 1 g kf k 1 2 4M2ML 4ML k k g 21 2 4M 4ML （2）定义状态变量 ，x ，x x1 1，x2 32142 则 1 x2 x g kf k x 2 x1 x3 4M2ML 4ML x x4 3 kg k 4 x1 x3 x 4M 4ML 或写成 0 1 k xg x 2 4ML x 3 0 4 k x 4M 1 0
3、 x 0 k1 00 1 x2 4M 2ML f 001 x3 0 x4 g k 0 0 0 4ML 二（本题满分10分） Ax，其中A R2 2。 设一个线性定常系统的状态方程为x e 2t 2 1 若x(0) 时，状态响应为x(t) 2t ；x(0) 时，状态响应为 1 1 e 1 2e t x(t) t 。试求当x(0) 时的状态响应x(t)。 3 e 【解答】系统的状态转移矩阵为(t) eAt，依据题意有 e 2t 1 x(t) 2t eAt 1 e 2e t 2 x(t) t eAt 1 e 合并得 e 2t 2t e 求得状态转移矩阵为 e 2tAt e 2t e 2 2e t A
4、t 1 e t e 1 1 1 e 2t2e t 12 2t t e 1 1 e2e t 1 2 t e 11 e 2t 2e t 2t t e e 1 当x(0) 时的状态响应为 3 2e 2t 2e t 2t t 2e e 1 e 2t 2e t x(t) e 2t t 3 e e At 2e 2t 2e t 1 2t t 2e e 3 7e 2t 8e t 2t t 7e 4e 三（本题满分10分） 已知某系统的方块图如下， 回答下列问题： （1）根据上图指定的状态变量建立状态空间表达式； （2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k的取值范围。 【解答】（1）系统的状态空间表达式为
5、 1 2k x1 1 x x 1 u x10 2 2 y 10 x1 x2 （2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数k 3且k 0。 四（本题满分10分） 离散系统的状态方程为 x1(k 1) 41 x1(k) 0 x(k 1) 2 3 x(k) 1 u(k) 2 2 （1）是否存在一个有限掌握序列 u(0)u(1) u(N) ，使得系统由已知的初始状态 x1(0)，x2(0)转移到x1(N 1) 0，x2(N 1) 0？试给出推断依据和推断过程。 （2）若存在，求N的最小值及掌握序列 u(0)u(1) u(N) 。 【解答】 （1）由题意， 41 0 01 G ，h 1 ，Qc hGh 1
6、 3 ，rankQc 2，由系统能控性的定义可2 3 知：存在有限掌握序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。 （2）由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的u(0)，u(1)，使得x(2) 0，即N的最小值为1。 依据状态方程x(k 1) Gx(k) hu(k)进行递推如下： x(1) Gx(0) hu(0) x(2) Gx(1) hu(1) G Gx(0) hu(0) hu(1) G2x(0) Ghu(0) hu(1) 0， 由上面最终一步可得 Ghu(0) hu(1) G2x(0) 即 u(1) hGh G2x(0) u(0) u(1) Qc G2x(0) u(0)
7、u(1) 4010 4010 x1(0) 12 QGx(0) x(0) c u(0) 187 187 x(0) 2 即u(0) 18x1(0) 7x2(0)，u(1) 40x1(0) 10x2(0)。 五（本题满分10分） 对下列系统 01 0 xx u 6 5 1 试设计一个状态反馈掌握器，满意以下要求：闭环系统的阻尼系数 0.707；阶跃响 应的峰值时间等于3.14秒。 【解答】 假设状态反馈掌握律为u k1 x1 k2 ，代入状态方程得闭环系统 x2 01 0 x x k1k2 x 6 5 1 1 0 x 6 k1 5 k2 闭环特征多项式为 f( ) det I 6 k1 1 2 5
8、k2 6 k1 5 k2 t ， n 依据题意的要求， 0.707 ，P2 项式为 2 f*( ) 2 2 n n 2 2 2 依据多项式恒等的条件可得： 5 k2 2 6 k1 2 解得 k1 4 k2 3 状态反馈掌握律为u k1 x1 k2 4x1 3x2。 x2 六（本题满分10分） 设系统的状态空间表达式为 01 0 xx u 0 5 100 y 10 x 若该系统的状态x2不行测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为 10， 要求写出降维观测器动态方程，并写出状态x2的估量方程。 【解答】将状态空间表达式写成： 1 x2 x 2 5x2 100u x y x 1 进一步
9、写成 2 5x2 100u x y x2 设降维观测器方程为 5 l xx22 100u l 5 l x x22 100u ly 引入中间变量z x2 ly，两边求导数得 z x2 ly 5 l x2 100u ly ly 5 l x2 100u 5 l z ly 100u z 5 l z l 5 l y 100u z 依据题意，降维观测器的极点为-10，即 5 l 10，解得l 5。 最终得到降维观测器的动态方程为 10z 50y 100u z 状态估量的表达式为x2 z 5y。 七. （本题满分10分） 证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。 【证明】设原线性系统为
10、Ax Bu x y Cx Du 其传递函数矩阵为W(s) C sI A B D 设线性变换为x Tz，变换后的线性系统为 1 z T 1ATz T 1Bu y CTz Du 该系统的传递函数矩阵为 (s) CT sI TAT T 1B D 1 1 CT sT 1T T 1AT T 1B D 1 CT T 1 sI A T 1 1 1 T 1B D CTT 1 sI A TT 1B D C sI A B D 明显，W(s) (s)，即其传递函数（矩阵）保持不变。 证毕 八. （本题满分10分） 3 x 1 x2 3x1 5，证明该系统在坐标原点处某2阶非线性系统的状态方程为 2x1x225 2 x1x2 x2 2 xx1 3 渐近稳定。 【证明】 2 取李雅普诺夫函数V(x) x12 x2，明显是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为：5 2x1x2325 1 2x2x 2 2x1 x2 3x1 2x2 x1x2 x2 2V(x) 2x1x x 3 1 2x1 6 6x12 2x2 1 2 x1 3 令函数y 2x12 ，则yx1 2x1 3y 0，关于x1的二次方程的根的判别式为 2 x1 3 1， 。则有 y 1 1 y 1，所以表达式3 3333 4 12y2 0，y2 1 2x1 (x)为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。 恒小于零，因此，V2 x1 3 13Word版本
