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1、用心爱心 专心119 号编辑1 高二数学解析几何中的范围问题知识精讲人教版一. 本周教学内容：解析几何中的范围问题二. 本周教学重、难点：1. 重点：确定某个变量的范围，使得问题中给出的几何图形具有某种几何性质，或满足某种数量，位置关系。2. 难点：建立含有参变量的函数关系式或不等式。 例 1 双曲线)0, 1(12222babyax焦点距为c2，直线l过点（a，0）和（ 0，b） ，且点（ 1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和cs54，求双曲线的离心率e的取值范围。解： 直线的l的方程为1byax即0abaybx点（ 1，0）到直线l的距离221)1(baabd，点)0,
2、1(到直线l的距离222)1(baabd21ddscabbaab2222由cs54，得ccab542即22225caca于是得22215ee即0252524ee得5452e由于01e，所以e的取值范围是525e 例 2 已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A（1，0） ，点 P、Q在双曲线的右支上，点 M （0,m）到直线 AP 的距离为1。若直线AP的斜率为k，且3,33k，求实数m的取值范围。用心爱心 专心119 号编辑2 解： 由条件得直线AP的方程)1(xky，即0kykx因为点 M到直线 AP的距离为1，所以112kkmk即221111kkkm3,33k21332m解得31332m或3
3、3211m所以m的取值范围是3,33213321 , 1 例 3 设双曲线C：)0(1222ayax与直线l：1yx相交于两个不同的点A，B。求双曲线 C的离心率e的取值范围。解：由 C与l相交于两个不同的点，故知方程组11222yxyax有两个不同的实数解，消去y并整理得022)1 (2222axaxa由0)1 (84012242aaaa解得20a且1a双曲线的离心率11122aaae因为20a且1a用心爱心 专心119 号编辑3 所以26e且2e，即离心率e的取值范围为),2()2,26( 例 4 设 A、B是椭圆223yx上的两点，点N（ 1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与
4、椭圆交于C、D两点。确定的取值范围，并求直线AB的方程。解：解法1：依题意，可设直线AB的方程为3)1(xky，代入223yx，整理得0)3()3(2)3(222kxkkxk设 A（11, yx） ， B （22,yx） ，则21,xx是方程的两个不同的根0)3(3)3( 422kk且3)3(2221kkkxx，由 N（ 1，3）是线段AB的中点，得1221xx3)3(2kkk解得1k代入得12，即的取值范围是（,12）于是，直线AB的方程)1(3xy即04yx解法 2：设 A（11, yx） ，B（22, yx） ，则有2222212133yxyx)(32121xxxx+)(2121yyyy
5、=0 依题意，21xx，2121)(3yyxxkABN（1，3）是 AB的中点221xx，621yy，从而1ABk又由 N（1，3）在椭圆内1231322的取值范围是（,12）直线 AB的方程为用心爱心 专心119 号编辑4 ) 1(3xy，即04yx 例 5 设点 P到 M （0, 1） ，N（1， 0）的距离之差为m2，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。解法一： 设点 P的坐标为（yx,） ，依题设得2xy即0,2xxy因此，点P （yx,） 、M （0, 1） 、N（1，0）三点不共线，得2MNPNPM02mPNPM10m因此，点P在以 M 、N为焦点，实轴长为m2的双曲线上，故
6、112222mymx将式代入，并解得222251)1(mmmx012m0512m解得550m即m的取值范围为55, 00 ,55解法二： 设点 P的坐标为),(yx，依题设得2xy即0,2xyxy由mPNPM2，得myxyx2) 1()1(2222由式可得myxyxx2) 1() 1(42222所以，2122yxm，且0m由式移项，两边平方整理得222) 1(mxyxm将式代入，整理得)1()51 (2222mmxm用心爱心 专心119 号编辑5 02x，且式右端大于0 0512m综上，得m满得550m 例 6 直线：1kxy与双曲线C：1222yx的右支交于不同的两点A、B。求实数k的取值范
7、围。分析： 直线与双曲线右支有两个不同的交点，则不仅仅是0的问题，还需要追加制约条件。解：（1）将直线l的方程1kxy代入双曲线C的方程1222yx后，整理得022)2(22kxxk依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故0220220)2(8)2(0222222kkkkkk解得22k 例 7 已知椭圆12222byax（0ba） ，A、B是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与x轴交于 P（0,0 x） 。证明：abaxaba22022。解： 设 A（11, yx） ，B（22, yx） P（0 ,0 x）是中垂线上的点 PA=PB 则2222021210)()(yxxyxx22220
8、21210)()(yxxyxx解出0 x，得)(2)()(21222122210 xxyyxxx又 A、B在椭圆上用心爱心 专心119 号编辑6 2222222222212212bayaxbbayaxb0)()(2221222212yyaxxb)(2221222221xxabyy代入得)(2212220 xxabaxaxxa2221abaxaba22022 例 8 如图 P是抛物线C：221xy上一点， 直线l过点 P且与抛物线C交于另一点Q 。若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求SQSTSPST的取值范围。解：设 P（11, yx） ， Q （22,yx） ，M （00,
9、yx） ，依题意01x，01y，02y设直线l：bkxy，依题意0k，0b，则 T（b,0）分别过P，Q作PPx轴，xQQ轴，垂足分别为P、Q，则21ybybQQOTPPOTSQSTSPST由bkxyxy221消去x，得0)(2222bybky（1）用心爱心 专心119 号编辑7 则221221)(2byybkyy方法 1：21212)11(22121bbyybyybSQSTSPST因为21, yy可取一切不相等的正数所以SQSTSPST的取值范围是（2，）方法 2：SQSTSPST222121)(2bbkbyyyyb当0b时，SQSTSPST222)(2)(22222bkbbkbbkb当0b
10、时，SQSTSPSTbbkbbkb)(2)(2222又由方程（ 1）有两个相异实根，得0)2(44)(422222bkkbbk于是022bk，即bk22所以SQSTSPST2)2(2bbbSQSTSPST的取值范围是（2，）（答题时间：60 分钟）1. 设 P是椭圆12222byax（0ba）上一点， F1，F2是其焦点，且9021PFF，求椭圆离心率的最小值。2. 已知直线)210(bbxy与抛物线xy22相交于 A、B两点，求使ABO的面积最大时的直线方程。3. 已知：直线l：)0(kkxy和顶点为A的抛物线C：)1(3) 1(2xy有公共点，点P用心爱心 专心119 号编辑8 （0,a）
11、关于直线l的对称点为Q，若 AQ垂直于抛物线的对称轴，求a的取值范围。4. 已知：椭圆1322yx的一个顶点A（0，1） ，是否存在斜率为k（0k）的直线l，使l与已知椭圆交于两个不同的点M 、N，且使ANAM？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由。用心爱心 专心119 号编辑9 参考答案 http:/1. 思路：由aPFPF221和222122214cFFPFPF，得到21PFPF=)(222ca，进而构造关于21PFPF 、的一元二次方程， 在解有关焦点三角形的最值问题时常常运用这种方法。解：由椭圆的定义得：aPFPF221 在21PFF中，9021PFF2212221FFPFPF24
12、c2，得)(22221caPFPF由、可知，1PF、2PF是方程0)(22222caazz的两根从而0)(84222caa21)(2ac，即22ace所以离心率的最小值为222. 思路：建立ABO的面积关于变数b的目标函数，求使目标函数取最大值时b的值。解：设ABO的面积为S ，点 O到 AB的距离为d，A（11, yx） ，B（22, yx）联立xybxy22，得到0)22(22bxbxbxx2221，221bxx212xxAB212214)(2xxxx=b842而2bd，于是284221bbSbb21bbbbb2121)21(bbb93)321(3bbb用心 爱心专心119号编辑10 当且
13、仅当bb21，即31b时等号成立故ABO的面积最大时的直线方程为31xy3. 解：联立直线l与抛物线C方程，整理得04)32(22xkxk由l与 C有公共点，得016)32(22kk解得2123k，且0k如图所示，抛物线顶点A（1, 1） ，而 AQ垂直于抛物线的对称轴，故可设Q（0, 1 y） P 和 Q关于直线l对称kayaky1121200消去0y，得112aak由2123k，且0k，得4902k49110aa解得513a，或1a故a的取值范围是), 1(513,(4. 解：由ANAM可得 A与 MN中点 T 的连线 AT MN ，出现了弦的中点且可用斜率的乘积为1，所以可用点差法。设 M （11, yx） 、 N （22,yx） ，MN中点 T（00, yx）则2102102,2yyyxxx由33,3322222121yxyx得0)(3)(21212121yyyyxxxx用心 爱心专心119号编辑11 )(321212121yyxxxxyyk1130000yxkyxATkxy23,2100由 T（21,23k）在已知椭圆内，得343492k，解得12k0k)1 ,0()0, 1(k故存在满足题意的实数k
