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1、一道高考解析几何题的探究、推广及应用题目（2014年广东高考）己知椭圆C:x2a2+y2b2=l （ab0）的一个焦点为（5，0），离心率为53,（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P （X0, yo）为椭圆外一点，且点P到椭圆c的两条切线相互 垂直，求点P的轨迹方程.本题答案：（1）椭圆C的标准方程为x29+y24=l； （2）点P的轨迹方程为x2+y2=13.笔者解完题后总喜欢对结论进行观察、分析、猜 想、研宄，希望能从中找到一些有价值的东西.解完此 题后，笔者惊喜地发现:直线13就是该椭圆中的a2+b2. 由此我们猜测：对于一般的椭圆是否也有此性质？逆 命题如何呢？笔者带着这个想法进行
2、研究，现将研究 的主要过程和结论整理出来与大家交流.一、问题的推广性质1过椭圆外一点P作椭圆C: x2a2+y2b2=l （abO）的两条切线 PA、PB，且ZAPB=90，则 P 点的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.下面给出一个不同于标准答案的证法：证明：设 P （x, y），A （xl, yl），B （x2, y2）,易知切线 PA:xlxa2+ylyb2=l，切线 PB: x2xa2+y2yb2=l，由 kPAkPB=-l得出 yly2xlx2=-b4a4.又因为 y21=b2( l-x21a2)，y22=b2(l-x22a2)，所以得出 X21x22=a6(x21+x22)-a8a4
3、-b4，联立方程 xlxa2+ylyb2=l,x2xa2+y2yb2=l，解得 x=y2-ylxly2-x2yla2, y=xl-x2xly2-x2ylb2.所以经过化简得出x2+y2= (a2+b2) 2a4b2+ (b4-a2b2) (x21+x22)2a4b2+ (b4-a2b2) (x21+x22) =a2+b2.同样对于双曲线有如下类似的性质：性质2过双曲线外一点P作双曲线C:x2a2+y2b2=l （abO）的两条切线 PA、PB，且Z APB=90 ,则P点的轨迹方程为x2+y2=a2-b2.对于抛物线也有如下类似的性质：性质3过抛物线外一点P作抛物线y2=2px（p0）的两条切
4、线PA、PB，且ZAPB=90，则P点的轨迹方 程为x=-p2.二、逆向推理、探宄对性质1的条件和结论进行互换作变式探究，笔者用几何画板进行演示，得到圆锥曲线还有如下性质 （限于篇幅证明留给读者）.性质4设P为圆x2+y2=a2+b2上的任意一点，过P作椭圆C: x2a2+y2b2=l (abO)的两条切线PA、 PB，M!)ZAPB=90 .类比到双曲线也有类似的性质:性质5设P为圆x2+y2=a2-b2上的任意一点，过P 作双曲线C: x2a2-y2b2=l (ab0)的两条切线PA、 PB，则ZAPB=90 .对于抛物线也有如下的性质：性质6设P为直线x=-p2上的任意一点，过P作抛物线
5、y2=2px (p0)的两条切线PA、PB，且Z APB=90 .、问题的拓展探究我们把上面的椭圆两切线夹角变成一般的夹角为 0,探宄P点的轨迹方程.经过探宄得出，P点轨迹方 程为：(a2+b2-x2-y2) 2sin2 0 +4 Ca2b2-b2x2-a2y2) cos20=0.显然，当Q =90时，上式为x2+y2=a2+b2，椭圆互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心、 a2+b2为半径的类似地可以得到当双曲线两切线夹角为e时，P 点的轨迹方程为：(a2-b2-x2-y2) 2sin2 0 +4 Ca2b2-b2x2+a2y2) cos20 =0.显然，0=90 时，上式为 x2+y
6、2=a2-b2.当a2-b20时，双曲线互相垂直的切线交点的轨 迹是以双曲线中心为圆心、半径为a2+b2的当a2-b2=0时，双曲线互相垂直的切线交点的轨 迹是双曲线的中心；当a2-b2b0）的离心率为53,且过点M（2,253），FI, F2为椭圆的左右焦点.（1）求椭圆的方程;（2）若圆x2+y2=13上一点P （2，3），过P作椭 C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求|AB|的值.分析对于（2）由性质4可得AB为圆的直径.例3（2012年广州市查漏补缺试题）给定椭圆C:x2a2+y2b2=l （ab0）,称圆心在原点、半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F
7、（2， 0），其短轴上的一个端点到F的距离为3. （1）求椭 C及其“准圆”方程；（2）设点P是椭圆C的“准上的一个动点，过P任作两条直线II，12,使的II，12 与椭圆C都只有一个公共点，试判断II，12是否垂直？ 并说明理由.分析对于（2）由性质4可得.五、一点感想在数学教学之外，我们要善于研宄、挖掘高考试题的潜在功能.每年的高考试题中都有一些典型的、有 挖掘意义的好题.它们或者是重要的结论，或者是体现 某种数学思想方法，或者是某个一般数学命题的具体 形式，它的延伸、转化、拓展推广，可以呈现出丰富 多彩的数学内容.我们必须充分重视高考试题中的一 些典型题目，这也是教师专业成长的必由之路.
