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1、陕西省师大附中2009届高三第五次模拟考试数学理试题本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟. 第I卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题 每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合，则=A. B. C. D.2. 函数y8sin4xcos4x的最小正周期是A.2 B.4 C. D. 3 A. i B.i C. D.4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B. C. D. 5. 若，则标准正态总体在区间（3，3）内取值的概率为 A0.9987B0.9974C0.9944D0.8413
2、6. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是ABC D7. A. B.2 C. D. 8.若双曲线的离心率为2,则双曲线的离心率为A B C2 D9. 设，则下列不等式中成立的是 AB C D 10设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为 A B C D 11. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A B C D12. 已知为定义在上的可导函数,且对于恒成立,则A. , B. , C. , D., 第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上 13.已知正数、满足，则的最小值为_.14. 表面积为 的正八面体的
3、各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 15. 二项式的展开式中的常数项为_.(结果用数值作答).16. 如果一个函数的图象关于直线对称,则称此函数为自反函数. 使得函数为自反函数的一组实数的取值为_ 三、解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本题满分12分）已知函数.（）在所给的坐标纸上作出函数的图象(不要求写出作图过程).（）令，.求函数的图象与轴交点的横坐标. 123 5 10 15 2025参加人数活动次数18. (本题满分12分) 按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学
4、生在上学期参加活动的次数统计如图所示（I）求该班学生参加活动的人均次数；（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望（要求：答案用最简分数表示）19（本题满分12分）如图所示，在矩形中，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角. （）证明：；（）求二面角的正切值. 21. （本题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.直线与椭圆交于两点.（）求椭圆的方程；() 椭圆的右焦点是否可以为的垂心？若可以,求出直线的
5、方程；若不可以,请说明理由.21.（本题满分12分）设函数的定义域为，记函数的最大值为.（）求的解析式;（）已知,试求实数的取值范围.22. （本题满分14分）已知正项数列满足对一切,有，其中.()求数列的通项公式;() 求证: 当时, .数学答题纸理科一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号123456789101112答案二、填空题:(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13. , 14. . 15. . 16. .三、解答题:(本大题共6小题，共74分)17.（）（）18. （） （）19. （）（） 20. （） （）21. （I）(II)22. （）（）陕西省师大
6、附中2009届高三第五次模拟考试数学理答案一.选择题题号123456789101112答案CCAABDADDABA二.填空题 13. .; 14. ; 15. 15; 16. ,可以填写任意实数三、解答题17（）()由得,从而,即 .所以,函数与轴交点的横坐标为. 12分18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20（I）该班学生参加活动的人均次数为= 3分（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为 6分（III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“
7、这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件易知； 8分. 10分的分布列：012的数学期望： 12分19（）AD=2AB=2，E是AD的中点，BAE，CDE是等腰直角三角形，易知，BEC=90，即BEEC 又平面DEC平面BEC，面DEC面BEC=EC，BE面DEC，又CD面DEC，BECD 6分（）法一：设M是线段EC的中点，过M作MFBC垂足为F，连接DM，DF，则DMEC平面DEC平面BEC，DM平面EBC，MF是DF在平面BEC上的射影，由三垂线定理得：DFBC，DFM是二面DBCE的平面角. 在RtDMF中，。，即二面角DBCE的正切值为. 12分法二：如图，以EB，EC为
8、x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，则设平面BEC的法向量为；平面DBC的法向量为由.取 。 二面角DBCE的的正切值为.20. (）设C方程为，则b = 1.椭圆C的方程为 6分（）假设存在直线,使得点是的垂心.易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.设直线的方程为，代如椭圆的方程，并整理可得.设，则，.于是解之得或.当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意. 所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心. 12分21. （）注意到当时, 直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论.(1) 当a0时，函数y=, 的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知在上单调递增，.(2)当a=0时，, ,. 3分(3)当a0时,函数y=, 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则 4分若，即,则 5分若，即,则. 6分综上有 7分（）当时，所以， g(a)在上单调递增，于是由g(a)的不减性知等价于或解之得或.所以，的取值范围为. 12分22.()对一切有，即 , () 4分由及两式相减,得: 是等差数列,且, . 8分说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解.给分时,猜想正确得3分,证明给5分.() 由,知,因此,只需证明. 10分当或时,结论显然成立.当时, 所以,原不等式成立. 14分
