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1、浙教版二次函数知识点 浙教版二次函数学问点 浙教版二次函数学问点 二次函数在学校数学中占有重要位置，特殊是在中考的最终一道大题，算是数学大题中的压轴题，接下来为你整理了浙教版二次函数学问点，一起来看看吧。 浙教版二次函数学问点I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax+bx+c (a，b，c为常数，ane;0，且a打算函数的开口方向，agt;0时，开口方向向上，alt;0时，开口方向向下,IaI还可以打算开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=
2、ax+bx+c(a，b，c为常数，ane;0) 顶点式：y=a(x-h)+k 抛物线的顶点P(h，k) 交点式：y=a(x-x#8321;)(x-x #8322;) 仅限于与x轴有交点A(x#8321; ，0)和B(x#8322;，0)的抛物线 注：在3种形式的相互转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b)/4a x#8321;,x#8322;=(-bplusmn;radic;b-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像，可以看出，二 1 浙教版二次函数学问点 次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴
3、为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Delta;= b-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a打算抛物线的开口方向和大小。 当agt;0时，抛物线向上开口;当alt;0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同打算对称轴的位置。 当a与b同号时(即abgt;0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ablt;0)，对称轴在y轴右。 5.常数项
4、c打算抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) 6.抛物线与x轴交点个数 Delta;= b-4acgt;0时，抛物线与x轴有2个交点。 Delta;= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Delta;= b-4aclt;0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -bplusmn;radic;b-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) V.二次函数与一元二次方程 2 浙教版二次函数学问点 特殊地，二次函数(以下称函数)y=ax+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实
5、数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h) +k，y=ax+bx+c(各式中，ane;0)的图象外形相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 当hgt;0时，y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到， 当hlt;0时，则向左平行移动|h|个单位得到. 当hgt;0,kgt;0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h) +k的图象; 当hgt;0,klt;0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象; 当h
6、lt;0,kgt;0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象; 当hlt;0,klt;0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象; 因此，讨论抛物线y=ax+bx+c(ane;0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清晰了.这给画图象供应了便利. 3 浙教版二次函数学问点 2.抛物线y=ax+bx+c(ane;0)的图象：当agt;0时，开口向上，当alt;0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac
7、-b/4a). 3.抛物线y=ax+bx+c(ane;0)，若agt;0，当x le; -b/2a 时，y随x的增大而减小;当x ge; -b/2a时，y随x的增大而增大.若alt;0，当x le; -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ge; -b/2a 时，y随x的增大而减小. 4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c); (2)当=b-4acgt;0，图象与x轴交于两点A(x#8321;，0)和B(x#8322;，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0 (ane;0)的两根.这两点间的距离AB=|x#8322;-x
8、#8321;| 当=0.图象与x轴只有一个交点; 当lt;0.图象与x轴没有交点.当agt;0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有ygt;0;当alt;0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有ylt;0. 5.抛物线y=ax+bx+c的最值：假如agt;0(alt;0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a. 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对 4 浙教版二次函数学问点 应值时，可设解析式为一般形式： y=ax+bx+c(ane
9、;0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(ane;0). (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x#8321;)(x-x#8322;)(ane;0). 浙教版二次函数解题方法1.求证“两线段相等”的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来;然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，把它们进行化简，即可证得两线段相等。 2.“平行于y轴
10、的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的凹凸状况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式y上-y下，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题： (方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛 5 浙教版二次函数学问点 物线相切的直线的解析式(留意该直线与定直线的斜率相等，由于平行直线斜率(k)相等
11、)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有=0(由于该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。 (方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。 4.常数问题： (1)点到直线的距离中的常数问题： “抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛
12、物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 (2)三角形面积中的常数问题： “抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度，再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析 6 浙教版二次函数学问点 式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 (3)几条线段的齐次幂的商为常数的问题： 用K点法设出直线方程，求出与抛物线(或其它直线)的交点坐标，再运用两点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的全部线段表示出来，并化解即可。 5.“在定直线(常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度应用两点间的距离公式计算即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。 7 8Word版本
