2021年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科数学试题及答案 2021年一般高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类） 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 2 1. 集合P x|x 16 0，Q x|x 2n,n Z ，则P Q A.｛－2，2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛－2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2. 已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b相互垂直，则 ab ＝ A. 14 B.4 C. 12 D.2 3. 已知sin2 = 23 ， （0， ），则sin ＋cos ＝ 3 B. 3 C. 53 D.－ 53 4.在等比数列｛an｝中， a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9＝ 5.甲：A1、A2是互斥大事；乙：A1、A2是对立大事. 那么 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6.关于直线m、n与平面a、 , 有下列四个命题： ① ② ③ ④ 若m// ,n// 且a// ,则m//n； 若m ,n 且 ，则m n； 若m ,n// 且a// ，则m n； 若m// ,n 且 ，则m//n. 其中真命题的序号是 A.①、② B.③、④ C.①、④ D.②、③ 7.设f x lg 2 x2 x ，则f() f()的定义域为 x2x 2 A. ( 4,0) (0,4) B. ( 4, 1) (1,4) C. ( 2, 1) (1,2) D. ( 4, 2) (2,4) 8. 在24的绽开式中，x的幂的指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 9.设过点P x,y 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P 关于y轴对称，O为坐标原点，若 BP 2PA,且OQ AB 1，则P点的轨迹方程是 A．3x C． 2 32 y2 1(x﹥0,y﹥0 ) B. 3x2 32 32 y2 1(x﹥0,y﹥0 ) 32 x2 3y2 1( x﹥0,y﹥0 ) D. 2 2 2 x2 3y2 1(x﹥0,y﹥0 ) 10．关于x的方程(x 1) x 1 k 0,给出下列四个命题： ① 存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 ．A.0 B.1 C.2 D.3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
11.在△ABC中，已知 a= 4 3 30,则sinB＝ 12.接种某疫苗后，消失发热反应的概率为0.80，现有5人接种疫苗，至少有3人消失发热反应的概率为 精确到0.01） 13.若直线y=kx+2与圆(x 2) (y 3) 1有两个不同的交点，则k的取值范围为 14.支配5名歌手的演出挨次时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最终一个出场，不同排法的种数是 用数字作答） 15.半径为r的圆的面积S r r，周长C r 2 r，若将r看作（0，+ ）上的变量， 2 22 则( r) 2 r ① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数 2 对于半径为R的球，若将R看作（0，+ ）上的变量，请你写出类似于①的式子： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ② ②式可用语言叙述为 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分） 设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x R,函数f x a (a b) （Ⅰ）求函数f x 的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f x 32 成立的x的取值集合 17.（本小题满分12分） 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参与了其中一组，在参与活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％登山组的职工占参与活动总人数的 14 ，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％ 为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满足程度，现用分层抽样方法从参与活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定 （Ⅰ （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数 18．（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点， N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N （Ⅰ）求二面角B1 AM N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。
19．（本小题满分12分） 设函数f x x ax bx c在x 1处取得极值 2试用c表示a和b，并求f x 的 3 2 单调区间 20．（本小题满分13分） 设数列 an 的前n项和为Sn，点 n, Sn * (n N)均在函数y 3x 2的图像上 n （Ⅰ）求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）设bn 3anan 1 ，Tn是数列 bn 的前n项和，求使得Tn m20 对全部n N都成立的 * 最小正整数m 21．（本小题满分14分） 设A、B分别为椭圆 x2a2 y2b2 1(a,b 0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x 4．．． 是它的右准线 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于（此题不要求在答题卡上画图） A,B的M、N，证明点B在以MN为直径的圆内 2021年一般高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基础学问和基本运算。
每小题5分，满分50分 1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．A 二、填空题：本题考查基础学问和基本运算每小题5分，满分25分 11． 2 12．0.94 13．（0， 43 ） 14．78 15．( R3) 4 R2．球的体积函数的导数等于球的表面积函数 43 三、解答题 16．本小题主要考查平面对量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本学问，以及运用三角函数的图像和性质的力量 f x a a b a a a b sin2x cos2x sinxcosx cos2x 解：（Ⅰ）∵ 13 1 sin2x cos2x 1）＝ sin(2x ) 22224 1 ∴f x 的最大值为（Ⅱ）由（Ⅰ）知 32 2 ，最小正周期是 2 2 f x 32 32 2 x 4 ) 32 sin(2x 2k 2x 4 2k k 8 x k 3 8 4 3 8 ) 0 ,k Z 即f x 32 成立的x的取值集合是 x|k x k ,k Z . 8 17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计学问解决实际问题的力量。
解：（Ⅰ）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有 x 40% 3xb 4x 47.5%, x 10% 3xc 4x 10%，解得b=50%,c=10%. 故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、 50％、10％ （Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为200 34 ；抽取的中年人数为 40% 60（人） 33 ；抽取的老年人数为200 10％＝15（人） 200 50％＝75（人） 44 18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关学问及空间想象力量和推理运算力量考查应用向量学问解决数学问题的力量 解法1：（Ⅰ）由于M是底面BC边上的中点，所以AM BC，又AM CC1,所以AM 面BCC1B1，从而AM B1M, AM NM，所以 B1MN为二面角，B1—AM—N的平面角 又B 1 2 ,MN 56 , 连B1N，得B1N 中 ， 由 2 余 2 2 定 3 ，在 B1MN理 得 弦 52510 B1M MN B1N故所求cosB1MN 2 B1M MN526 二面角B1—AM—N 的平面角的余弦值为 5 。
（Ⅱ）过B1在面BCC1B1内作直线B1H MN，H为垂足又AM 平面BCC1B1，所以AM B1H于是B1H 平面AMN，故B1H即为B1到平面AMN的距离在R1 B1HM中， B1H＝B 1MsinB1MH 2 1故点B1到平面AMN的距离为1 解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则B1（0，0，1），M（0， 12 ，0）, 。