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1、高考中的导数应用问题1 函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是() A(， 2) B(0,3) C(1,4) D (2， ) 2 已知函数 f(x)asin 2x13sin 3x (a 为常数)在 x3处取得极值，则a的值为() A1 B0 C.12D123 函数 f(x)x33x1， 若对于区间 3,2上的任意x1，x2，都有 |f(x1)f(x2)|t，则实数 t 的最小值是() A20 B18 C3 D0 4 已知函数 f(x)ln aln xx在1， )上为减函数，则实数 a 的取值范围为 _5 已知函数 f(x)mx3nx2的图像在点( 1,2)处的切线恰好与直线3xy0 平行，
2、若 f(x)在区间 t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_题型一、利用导数研究函数的单调性例 1已知函数f(x)x2eax，aR. (1) 当 a1 时，求函数yf(x)的图像在点( 1，f(1)处的切线方程(2)讨论 f(x)的单调性已知函数f(x)x3ax2xc，且 af23. (1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)(f(x)x3) ex，若函数g(x)在x3，2上单调递增，求实数c 的取值范围题型二、利用导数研究与不等式有关的问题例 2 已知 f(x)xln x，g(x) x2ax3. (1)求函数 f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对
3、一切 x(0， )，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)证明：对一切x(0， )，都有ln x1ex2ex成立已知函数f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)当 a 取(1)中的最小值时，求证：g(x)f(x)16x3. 题型三、利用导数研究方程解或图像交点问题例 3已知 f(x) ax2 (aR)，g(x)2ln x. (1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程 f(x)g(x)在区间 2，e上有两个不等解，求a 的取值范围已知函数f(x)|ax2|bln x(x0)(1)若 a 1
4、， f(x)在(0， )上是单调增函数，求 b 的取值范围；(2)若 a 2，b1，求方程 f(x)1x在(0,1上解的个数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -1 已知函数 f(x)ax3x2bx(其中常数 a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求 f(x)的表达式；(2)讨论 g(x)的单调性，并求g(x)在区间 1,2上的最大值与最小值2 已知函数f(x)axxln x 的图像在点xe 处的切线斜率为3. (1)求实数 a 的值；(2)若 kZ，且 k1 恒成立，求
5、k 的最大值3 设函数 f(x)ex1 xax2. (1)若 a 0，求 f(x)的单调区间；(2)若当 x 0时 f(x)0，求 a 的取值范围4 已知 f(x)x23x1， g(x)a1x1x. (1)a2 时，求 yf(x)和 yg(x)的公共点个数；(2)a 为何值时， y f(x)和 yg(x)的公共点个数恰为两个5 定义在 R 上的函数f(x)ax3 bx2cx3 同时满足以下条件：f(x)在(0,1)上是减函数， 在(1， )上是增函数；f(x)是偶函数；f(x)的图像在x0 处的切线与直线yx2 垂直(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)设 g(x)4ln xm，若存在 x
6、1，e，使g(x)0，函数 f(x)xax2a. (1)记 f(x)在区间 0,4上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(2)是否存在a，使函数yf(x)在区间 (0,4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在， 求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -高考中的导数应用问题1 函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是() A(， 2) B(0,3) C(1,4) D(2， ) 答案D 解析函数 f(x)(x3)ex的导数为f(x
7、)(x3) ex1 ex(x3) ex(x2)ex. 由函数导数与函数单调性的关系，得当 f(x)0 时， 函数 f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得 x2. 2 已知函数 f(x)asin 2x13sin 3x (a 为常数 )在 x3处取得极值，则a 的值为() A1 B0 C.12D12答案A 解析f(x)2acos 2xcos 3x，f32acos 23 cos 0，a1，经验证适合题意3 函数 f(x) x3 3x1，若对于区间 3,2上的任意 x1，x2，都有 |f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是() A20 B18 C3 D0 答案A 精品学习资料
8、 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -解析因为 f(x)3x233(x1)(x1)，令 f(x)0，得 x 1，可知 1,1 为函数的极值点又 f( 3) 19，f(1)1，f(1) 3，f(2)1，所以在区间 3,2上 f(x)max1，f(x)min 19. 由题设知在区间3,2上 f(x)maxf(x)mint，从而 t20，所以 t 的最小值是20. 4 已知函数 f(x)ln aln xx在1， )上为减函数，则实数a 的取值范围为_答案e， ) 解析f(x)1x x ln aln xx
9、21 ln aln xx2，因为f(x)在1， )上为减函数，故f(x)0 在1， )上恒成立， 即 ln a1ln x 在1， )上恒成立 设 (x)1ln x， (x)max1，故 ln a1，ae. 5 已知函数f(x)mx3nx2的图像在点 (1,2)处的切线恰好与直线3x y0 平行，若f(x)在区间 t， t1上单调递减，则实数t 的取值范围是_答案2， 1解析由题意知，点 (1,2)在函数 f(x)的图像上，故 m n2. 又 f(x)3mx22nx，则 f(1) 3，故 3m2n 3. 联立 解得： m1，n3，即 f(x)x33x2，令 f(x)3x26x0，解得 2x0，则
10、t，t1? 2,0，故 t 2且 t10，所以 t2， 1题型一利用导数研究函数的单调性例 1已知函数f(x)x2eax，aR. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - -(1)当 a1 时，求函数yf(x)的图像在点 (1，f(1)处的切线方程(2)讨论 f(x)的单调性思维启迪(1)先求切点和斜率，再求切线方程；(2)先求 f(x)，然后分a0，a0，a0 三种情况求解解(1)因为当 a1 时， f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(2xx2)ex，所以 f(1)e， f( 1)
11、 3e. 从而 y f(x)的图像在点 (1，f(1)处的切线方程为ye 3e(x1)，即 y 3ex2e. (2)f(x) 2xeaxax2eax(2xax2)eax. 当 a 0时，若 x0，则 f(x)0，则 f(x)0. 所以当 a0 时，函数f(x)在区间 (，0)上为减函数，在区间(0， )上为增函数当 a0 时，由 2xax20，解得 x2a，由 2xax20，解得 0 x0 时，函数f(x)在区间 (，0)，(2a， )上为减函数，在区间(0，2a)上为增函数当 a0 时，由 2xax20，解得2ax0，解得 x0. 所以，当a0 时， f(x)在( ，0)，(2a， )上单调
12、递减，在(0，2a)上单调递增；当 a0)上的最小值；(2)对一切 x(0， )，2f(x)g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：对一切x(0， )，都有 ln x1ex2ex成立思维启迪(1)求 f(x)，讨论参数t 求最小值；(2)分离 a，利用求最值得a 的范围；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -(3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系，充分利用(1)中所求最值(1)解由 f(x)xln x， x0，得 f(x) ln x1，令 f(x)0，得 x1e. 当
13、x(0，1e)时， f(x)0，f(x)单调递增当 0t1et2，即 0t1e时，f(x)minf(1e)1e；当1ett2，即 t1e时， f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tln t. 所以 f(x)min1e，0t0)，则 h(x)x 3 x1x2，当 x (0,1)时， h(x)0，h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4，对一切x(0， )，2f(x) g(x)恒成立，所以 a h(x)min4. (3)证明问题等价于证明xln xxex2e(x(0， )由(1)可知 f(x)xln x(x(0， )的最小值是1e，当且仅当x1e时取到，设m(x)xex2e
14、(x(0， )，则 m(x)1xex，易知 m(x)maxm(1)1e，当且仅当x1 时取到精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -从而对一切x(0， )，都有 ln x1ex2ex成立思维升华(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题已知函数f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若 f(x)g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当 a 取(1)中的最小值时，求
15、证：g(x)f(x)16x3. (1)解令 h(x)sin xax(x0)，则 h(x)cos xa. 若 a1，h(x)cos xa 0，h(x)sin xax(x0)单调递减， h(x)h(0)0，则 sin xax(x0)成立若 0a0，h(x)sin xax(x(0，x0)单调递增， h(x)h(0)0，不合题意，结合 f(x)与 g(x)的图像可知a0 显然不合题意，综上可知， a1. (2)证明当 a 取(1)中的最小值1 时， g(x)f(x)xsin x. 设 H(x)xsin x16x3(x0)，则 H(x)1cos x12x2. 令 G(x)1cos x12x2，则 G(x
16、) sin xx 0(x0)，所以 G(x)1cos x12x2在0， )上单调递减，此时 G(x)1cos x12x2G(0)0，即 H(x)1cos x12x20，所以 H(x)xsin x16x3(x0)单调递减所以 H(x)xsin x16x3H(0)0，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - -即 xsin x16x30(x0)，即 xsin x16x3(x0)所以，当a 取(1)中的最小值时，g(x) f(x)16x3. 题型三利用导数研究方程解或图像交点问题例 3已知 f(x) ax2 (aR)，g(x)2ln x. (1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程 f(x)g(x)在区间 2，e上有两个不等解，求a 的取值范围思维启迪(1)通过讨论a 确定 F(x)的符号；(2)将方程 f(x)g(x)变形为 a2ln xx2，研究 (x)2ln xx2图像的大致形状解(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0， )，F(x)2ax2x2 ax21x
