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1、学习必备欢迎下载2011 理科数学数列高考题1、在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这n+2 个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作nT，再令nnTalg，n1. （）求数列na的通项公式；（）设1tantannnnaab，求数列nb的前 n 项和nS. 答：本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。解： （）设221,nttt构成等比数列，其中100, 121ntt，则2121nnnttttT1212ttttTnnn并利用)21( ,102213nittttnini，得)2(22
2、10nnT.1,2lgnnTann（）由题意和（）中计算结果，知1),3tan()2tan(nnnbn另一方面，利用kkkkkktan)1tan(1tan)1tan() 1tan(1tan得11tantan)1tan(tan)1tan(kkkk所以nnkkkkbSnininiin1tan3tan)3tan()11tantan)1tan(tan)1tan(232312、若数列12,.,(2)nnAa aan满足111(1,2,.,1)naakn， 数列nA为E数列，记()nS A=12.naaa（）写出一个满足10saa，且()sS A0 的E数列nA；（）若112a，n=2000，证明： E数
3、列nA是递增数列的充要条件是na=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0 的 E数列nA，使得nS A=0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列nA；如果不存在，说明理由。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解： （） 0，1，2，1，0 是一具满足条件的E数列 A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一个满足条件的E的数列 A5）（）必要性：因为E数列 A5是递增数列，所以)1999,2 ,1(11kaakk. 所以 A5是首项为12，公差为
4、1 的等差数列 . 所以 a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以 a2000a19999，即a2000a1+1999. 又因为 a1=12，a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故nnnAkaa即),1999,2,1(011是递增数列 . 综上，结论得证。（）令.1),1,2, 1(011Akkkcnkaac则因为2111112ccaacaa,1211nncccaa所以13211)3()2()1()(nnccncncnnaAS).1()2)(1()1)(1(2)1(121ncncncnn因为)
5、.1, 1(1, 1nkcckk为偶数所以所以)1 ()2)(1() 1)(1*21ncncnc为偶数 , 所以要使2)1(,0)(nnASn必须使为偶数 , 即 4 整除*)(144),1(Nmmnmnnn或亦即. 当, 1,0,*)(14241414kkknaaaAENmmn的项满足数列时14ka), 2, 1(mk时，有; 0)(,01nASa;0)(,0,0),2, 1(11144nkkASaamka有时当nAENmmn数列时,*)(14的项满足，, 1,0243314kkkaaa当)1(,)(3424mnNmmnmn时或不能被 4 整除，此时不存在E数列 An，使得.0)(,01nA
6、Sa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载3、已知等比数列 an 的公比 q=3，前 3 项和 S3=133。（I ）求数列 an 的通项公式；（II ）若函数( )sin(2)(0,0)f xAxAp在6x处取得最大值，且最大值为a3，求函数 f （x）的解析式。4、设 b0, 数列na满足 a1=b，11(2)22nnnnbaanan.（1）求数列na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，111.2nnnba解（）法一：112(1)nnnabanan，得1112
7、(1)121nnnnannnababba，设nnnba，则121nnbbbb(2)n，（）当2b时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn，2na（）当2b时，设12()nnbbb，则122(1)nnbbbb，令21(1)bb，得12b，1121()22nnbbbbb(2)n，知12nbb是等比数列，11112() ( )22nnbbbbb，又11bb，12112( )222nnnnnbbbbbbb，(2)2nnnnnbbab法二：（）当2b时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn，2na（）当2b时，1ab，2222222(2
8、)22bbbabb，33223333(2)242bbbabbb，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载猜想(2)2nnnnnbbab，下面用数学归纳法证明：当1n时，猜想显然成立；假设当nk时，(2)2kkkkkbbab，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2 )2kkkkkkkkkkkb akb kbbkbbaankbbkbb，所以当1nk时，猜想成立，由知，*nN，(2)2nnnnnbbab（）（）当2b时，112212nnna，故2b时，命题
9、成立；（）当2b时，222212222nnnnnnbbb，212122122222nnnnnnbbbb，1111221,22222nnnnnnnnbbbb，以上 n 个式子相加得2212nnbb111122nnnnbb2121222nnnnbnb，1221212112(2)(222 )2 (2)2(2 )2(2 )nnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbabb2212121(222)(2)2 (2)2(2 )nnnnnnnnnbbbbbbb2121111(2)222(2 )nnnnnnnnnbbbb2111211(2 )(22)2(2 )nnnnnnnnnbbbb1112nnb故当2b时
10、，命题成立；综上（）（）知命题成立5、已知数列na的前n项和为nS，且满足：1aa (0)a，1nnarS(nN*，,1)rR r（）求数列na的通项公式；（）若存在k N*，使得1kS，kS，2kS成等差数列，是判断：对于任意的mN*，且2m，1ma，ma，2ma是否成等差数列，并证明你的结论解： （I ）由已知1,nnarS可得21nnarS，两式相减可得2111(),nnnnnaar SSra即21(1),nnara又21,arara所以 r=0 时，数列na为： a，0， 0，；当0,1rr时，由已知0,0naa所以（*nN） ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - -
11、- - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载于是由21(1),nnara可得211()nnarnNa，23,naaa成等比数列，当n2时，2(1).nnar ra综上，数列na的通项公式为21,(1),2nnnanar ra n（II ）对于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差数列，证明如下：当 r=0 时，由（ I ）知，,1,0,2ma nan对于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差数列，当0r，1r时，21211,.kkkkkkSSaaSa若存在*kN，使得112,kkSS S成等差数列，则122kkkSSS
12、，1221222,2,kkkkkkSaaSaa即由（ I ）知，23,maaa的公比12r，于是对于任意的*mN，且122,2,4,mmmmmaaaa从而12122,mmmmmmaaaaaa即成等差数列，综上，对于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差数列。6、已知函数f(x) =3x，g (x)=x+x。（）求函数h (x)=f(x)-g (x) 的零点个数，并说明理由；（）设数列*()nanN满足1(0)aa a，1()()nnf ag a，证明：存在常数M,使得对于任意的*nN，都有naM. 解析： （I ）由3( )h xxxx知，0,)x，而(0)0h，且( 1 )10, (2
13、 )620hh，则0 x为( )h x的一个零点，且( )h x在12（，）内有零点，因此( )h x至少有两个零点解法 1：1221( )312h xxx，记1221( )312xxx，则321( )64xxx。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当(0,)x时 ，( )0 x， 因 此( )x在(0,)上 单 调 递 增 ， 则( )x在(0,)内 至 多 只 有 一 个 零 点 。 又 因 为3(1)0,()03，则( )x在3(,1)3内有零点，所以( )x在
14、(0,)内有且只有一个零点。记此零点为1x，则当1(0,)xx时，1( )()0 xx；当1(,)xx时，1( )()0 xx；所以，当1(0,)xx时，( )h x单调递减，而(0)0h，则( )h x在1(0,x内无零点；当1(,)xx时，( )h x单调递增，则( )h x在1(,)x内至多只有一个零点；从而( )h x在(0,)内至多只有一个零点。综上所述，( )h x有且只有两个零点。解法 2：122( )(1)h xx xx，记122( )1xxx，则321( )22xxx。当(0,)x时，( )0 x， 因此( )x在(0,)上单调递增，则( )x在(0,)内至多只有一个零点。
15、因此( )h x在(0,)内也至多只有一个零点，综上所述，( )h x有且只有两个零点。（II ）记( )h x的正零点为0 x，即3000 xxx。（1）当0ax时，由1aa，即10ax. 而33211000aaaxxx，因此20ax，由此猜测：0nax。下面用数学归纳法证明：当1n时，10ax显然成立；假设当(1)nk k时，有0kax成立，则当1nk时，由331000kkkaaaxxx知，10kax，因此，当1nk时，10kax成立。故对任意的*nN，0nax成立。（ 2 ） 当0ax时 ， 由 （ 1 ） 知 ，( )h x在0(,)x上 单 调 递 增 。 则0( )()0h ah
16、x， 即3aaa。 从 而33211aaaaaa，即2aa，由此猜测：naa。下面用数学归纳法证明：当1n时，1aa显然成立；假设当(1)nk k时，有kaa成立，则当1nk时，由331kkkaaaaaa知，1kaa，因此，当1nk时，1kaa成立。故对任意的*nN，naa成立。综上所述，存在常数0max, Mxa，使得对于任意的*nN，都有naM. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载7、已知两个等比数列,nnab，满足(),aa abababa（1）若a，求数列na的通项公式；（2）若数列na唯一，求a的值答（1）设na的公比为 q，则2212312,22,33babaqq baqq由123,b b b成等比数列得22(2)2(3)qq即212420,22,22qqqq解得所以na的通项公式为11(22)(22).nnnnaa或（2）设na的公比为 q，则由22(2)(1)(3),aqaaq得24310(*)aqaqa由20440aaa得，故方程（ * ）
