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1、1 二项式定理1. 二项式定理：)*()(011111100NnbaCbaCbaCbaCbannnnnnnnnnn. 2. 二项式定理的说明：（ 1）()nab的二项展开式是严格按照a 的降次幂 （指数从n逐项减到0） 、b 的升次幂 （数从0逐项减到n）排列的，其 顺序不能更改，且各项关于a、b 的指数之和等于n。所以()nab与()nba的二项展开式是不同的。（ 3）二项式项数共有(1)n项，是关于a与b的齐次多项式。（ 4）二项式系数：展开式中各项的系数为1rnC，1,.,3 ,2 ,1nr. （ 5）二项式通项：展开式中的第r项记作rT，）（1,.,3, 2, 1111nrbaCTrr
2、nrnr，共有(1)n项。（ 6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。如：nnrrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba）（）（）（）（）（-nr2221110的第 2 项的二次项系数为1nC，而第 2 项的系数为1nC. （ 7）常见二项式：令1,abx)*()1(111100NnxCxCxCxCxnnnnnnnnn；令1,abx)*()1()1(221100NnxCxCxCxCxnnnnnnnn. 3. 二项式系数的性质：（ 1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即knnknnnn
3、nnnCCCCCC,110. （ 2）二项式系数和：令1ab，则二项式系数的和为：nnnnnnnCCCC2110，变形有：12321nnnnnnCCCC. （ 3）15314202nnnnnnnCCCCCC；（ 4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和：已知nnnxaxaxaxaaxa22332102.)(2，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - -
4、-2 奇数项的系数和：naaaa2420.=_ ；偶数项的系数和：12531.naaaa=_ ；0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxC a xC axC axC a xaa xa xa xxaC a xC axC a xC a xa xa xa xaxaaaaaaxaaaaaaLLLLLL令则令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaaLL得奇数项的系数和得偶数项的系数和（ 5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n是偶数时，则
5、中间项为第）（12n项的二项式系数2nnC取得最大值；如果二项式的指数n是奇数时，则中间项有两项，分别为第21n项和第23n项，对应的二项式系数12nnC，12nnC同时取得最大值。22212nnnnnbaCT，1 -2121 -221nnnnnbaCT，121-21223nnnnnbaCT. （ 6）系数的最大、最小项的求法：求()nabx展开式中最大、最小项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,nAAA，设第1r项系数最大，应有：rrAA1且21rrAA；如果设第1r项系数最小，应有211rrrrAAAA且，从而解出r的范围。4. 怎么求展开式中含的系数，其中且？解：把视为
6、二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为：，其系数为. ncba)(rqpcba,Nrqpnrqpnncbacba)()(rCrrnrnCbaC)(rnba)(qbqpqrnqqrnqrnbaCbaCncba)(rqpcbarqpqrnrncbaCCrrqpnpnqrnrnCCCpqrnqrnqrnrnrnCC!)!( !)!()!( !精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第
7、2 页，共 6 页 - - - - - - - - -3 5. 近似计算的处理方法：当a的绝对值很小（趋近于0）且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式 的 后 面 部 分nnnnnnnnaCaCaCaC113322很 小 ， 可 以 忽 略 不 计 。 类 似 地 ， 有. 但使用这两个公式时应注意a的条件， 以及对计算精确度的要求。若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：. 二项式定理常考题型题型一：二项式定理的逆用题型二：求二项展开式的特定项（ 1）求单个二项式指定幂的系数（ 2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数（ 3）利用通项公式求常数项（ 4）求有理项（ 5）求中间项题型三：求
8、二项式系数或展开式系数最大或最小项（ 1）一般的系数最大或最小问题（ 2）特殊的系数最大或最小问题（ 3）系数绝对值最大的项（ 4）二项式系数最大的项题型四：赋值法求值题型五：整除性题型六：证明不等式题型七：利用二项式定理求近似值例 1. 已知 C0n2C1n22C2n2nCnn729，则 C1nC3nC5n的值等于 _例 2. 二项式（3x+32）n（n N*）展开式中只有一项的系数为有理数，则 n 可能取值为 （）A.6B.7C.8D.9例 3. 若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2 )2nx的展开式中系数最大的项。naan1)1 (naan1)1(22)1(1)1(xnnnxx
9、n精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -4 例 4. 已知等式x4=（ x+1）4+b1（ x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，则 b1，b2，b3，b4的值分别为 _例 5. 若 n 是正整数，则122117777nnnnnnnCCC除以 9 的余数是 _例 6. 证明： （1）Nnnnn, 322（ 2）当Nn且n1，求证：
10、3)11 (2nn例 7. （2002 全国）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告： “2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长7.3%” ，如果“十五”期间（2001 年 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（）A.115000 亿元B.120000 亿元C.127000 亿元D.135000 亿元变式训练：1. 设二项式31(3)nxx的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s，若272ps，则n等于 _ 2.在（ 1+x）3+（1+x）4+ （ 1+x）2007的展开式中， x3的系数等
11、于 _3.把 1+(1+x)+(1+ x)2+ +(1+x)n展开成关于x 的多项式，其各项系数和为an，则2312lim2nnna等于 _4.（2016 浦东新区一模）二项式nxx)21(的展开式前三项系数成等差数列，则_5.已知 (x 1)10 a1 a2xa3x2 a11x10.若数列 a1， a2， a3，ak(1 k 11，kZ)是一个单调递增数列，则k 的最大值是 _6.若5.在1x51x3n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是 _7.在(x1)(x 2)(x 3)(x4)(x5)的展开式中，含x4的项的系数是_n12nxx精品学习资料 可选择p d f -
12、 - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -5 8.x2x2n展开式中只有第6 项的二项式系数最大，则n 等于 _9.已知0a，若26(1)(1)xax的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中2x项的系数为 _10.(2011 上海十三校二模)在二项式 (x3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为 B，且 AB72，则 n _11.（2015 闸北区二模）若二
13、项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一 项为有理项的概率是_12.（2010 辽宁）261(1)()xxxx的展开式中的常数项为_ 13. （2000 北京）求的展开式中有理项共有_项。14.（2015 全国）的展开式中，的系数为 _ 15.（2x-1） （x+y）5的展开式中，x3y3的系数为 _16.(1axby)n展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243， 不含 y 的项的系数绝对值的和为32，则 a，b，n 的值可能为（）A.a2，b 1，n5 B.a 2，b 1，n6C.a 1，b2， n6 D.a1， b2，n517.已知，则的值是 _18.多项式 x10a0a
14、1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则 a8的值为 _ 19. 若多项式1010221010) 1(.)1()1()2(xaxaxaax，则820.aaa的值为（）A.509 B.510 C.511 D.1022 20.设10992210101022101020)1 ()1 ()21(xxbxbxbbxaxaxaaxx，则9a_1nxx103)1(xx25()xxy52x y精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -
15、- - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -6 21.已知 (12x)7a0a1xa2x2 a7x7，求：（ 1）a1a2 a7；（ 2）a1a3 a5 a7；（ 3）a0a2 a4 a6；（ 4）|a0|a1|a2| |a7|.21.0101102103107108109101098732CCCCCCCS_ 22.(2012 湖北 )设 aZ，且 0 a13，若 512012a 能被 13 整除，则a_23.数10101031032102110909090901CCCC除以 88 的余数是 _ 24. 求6998.2的近似值（精确到小数后第三位）。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
