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1、学习必备欢迎下载第六章数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。知识网络第一课时数列四、数列通项na与前n项和nS的关系1niinnaaaaaS132122111nSSnSannn课前热身3数列na的通项公式为nnan2832, 则数列各项中最小项是( B ) A第项B第项C第项D第项4已知数列na是递增数列，其通项公式为nnan2, 则实数的取值
2、范围是),3(5数列na的前n项和142nnSn, ，则25212nnnan数列与正整数集关系等差数列等比数列特殊数列求和方法公式法倒序相加法错位相减法裂项相消法n定义通项公式中项前项的和递推公式通项公式数列精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 37 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载题型一归纳、猜想法求数列通项【例 1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式7，77， 777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9， 9解析：将数列变形为),110(97),110(972)110(973，,)1
3、10(97n将已知数列变为1+0，2+1， 3+0， 4+1， 5+0， 6+1， 7+0， 8+1，9+0，。可得数列的通项公式为2) 1(1nnna点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二应用)2() 1(11nSSnSannn求数列通项例 2已知数列na的前n项和nS，分别求其通项公式. 23nnS解析 ：当123,1111San时，当)23()23(,211nnnnnSSan时132n又11a不适合上式，故)2(32)1(11nnann三、利用递推关系求数列的通项【例 3】根据下列各个数列na的首项和递推关系，求其通项公式141
4、,21211naaann解析：因为14121naann，所以)121121(2114121nnnaann所以)3111(2112aa)5131(2123aa431 11()2 57aa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 37 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载，1111()2 2321nnaann以上) 1(n个式相加得)1211(211naan即：24342411nnnan点 拨 ： 在 递 推 关 系 中 若),(1nfaann求na用 累 加 法 ， 若),(1nfaann求na用 累 乘 法 ， 若
5、qpaann 1，求na用待定系数法或迭代法。课外练习3 设1212111nnnan，(Nn)，则nnaa与1的大小关系是( C ) Annaa1Bnnaa1Cnnaa1D 不能确定解：因为0221321113212211nnnnnaann所以nnaa1，选二、填空题5已知数列na的前n项和，142nnSn则)2(,52) 1(,2nnnan7已知数列na的通项9998nn（Nn） ，则数列na的前 30 项中最大项和最小项分别是910aa ，解：构造函数99989919998xxxy由函数性质可知，函数在)99(，上递减，且1y函数在），99(上递增且1y精品学习资料 可选择p d f -
6、- - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载最小最大，），又910921301211101109(99aaaaaaaaa三、解答题6.2等差数列知识要点2递推关系与通项公式mnaadnaaddnaadmnaadnaadaamnnnmnnnn1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：为常数）即：特征：mkmknnfadadnann,(,)(),(1),为常数，（mkmknan是数列na成等差数列的充要条件。等差中项：若cba,成等差数列， 则b称ca与的等差中项，且2cab；cba,成等差数列是
7、cab2的充要条件。前n项和公式2)(1naaSnn；2) 1(1dnnnaSn),()(,)2(22212为常数即特征：BABnAnSBnAnnfSndandSnnn是数列na成等差数列的充要条件。5 等差数列na的基本性质),(Nqpnm其中qpnmaaaaqpnm，则若反之，不成立。dmnaamn)(mnmnnaaa2nnnnnSSSSS232,仍成等差数列。判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSn
8、na是等差数列课前热身2等差数列na中，)(31,1201191210864Caaaaaaa的值为则A14B15C16D17 1651203232)(32)2(31318999119adadaaaa解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 37 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载。3等差数列na中，12910SSa，则前10或 11 项的和最大。解：0912129SSSS，0003011111121110aaaaaa，又，na为递减等差数列1110SS为最大。4已知等差数列na的前 10 项和为 100，前 1
9、00 项和为 10，则前 110 项和为 110 解：，1001102030102010SSSSSSS成等差数列，公差为D 其首项为10010S，前 10 项的和为10100S11022101010010221029101010011010100110）（又，SDSSSDD10210102)10(29840242) 1(129850max22ynnnnnnnny时，所以当设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，求出公差d的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。d)(nfannnanSna2n解：)(6)(610312112aaaaS3724308240)8
10、2(213)(2132)(1372407240)72(63113131133ddddaaaaaSddda从而又最大。，6677137612000130)(6SaaaSaaS课外练习一、 选择题1 已知na数列是等差数列，1010a，其前10项的和7010S，则其公差d等于 ( D ) 32313132DCBA2 已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（A ）A15 B 30 C31 D64 151212497aaaaa解：二、填空题3 设nS为 等 差 数 列na的 前n项 和 ，971043014SSSS，则，=54 4 已 知 等 差 数 列na的 前n项 和 为nS， 若
11、118521221aaaaS，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载5 设 F 是椭圆16722yx的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同点,),2, 1(321FPFPFPiPi，使组 成 公 差 为d的 等 差 数 列 ， 则d的 取 值 范 围 为10100101，解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别为）和（17)17(，由题意得：1010010101012011217)117ddddnnddn或，又（）（三、解答题6 等 差 数 列na的 前n项
12、和 记 为nS， 已 知50302010aa，求通项na；若nS=242，求n解：dnaan)1(1102212501930950301112010nadadadaaan解方程组，由2)1(1dnnnaSn，nS=242 舍去）或解得(221124222)1(12nnnnn7 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走 1m，乙每分钟走5m，甲、乙开始运动后几分钟相遇？如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？解：设n分钟后第一次相遇，依题意有：舍去），解得(2077052
13、)1(2nnnnnn故第一次相遇是在开始运动后7 分钟。设n分钟后第二次相遇，则：舍去），解得(281570352) 1(2nnnnnn故第二次相遇是在开始运动后15 分钟10 已 知 数 列na中 ，31a前n和1)1)(1(21nnanS求证：数列na是等差数列求数列na的通项公式设数列11nnaa的前n项和为nT，是否存在实数M，使得MTn对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。解：1)1)(1(21nnanSnnnnnnnnnnnnnnnanannaanananannaananSSaanS)1()2() 1(1)2()1(1) 1() 1)(1() 1)(2(
14、211)1)(2(2111212111111整理得，nnnnnnaaaaanan21212)(1() 1(2数列na为等差数列。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 37 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1)1(311nnannaa，122)1(3)1(2251211212nndnaaaaaaann的公差为即等差数列)32)(12(111nnaann61)32131(21)32112171515131(2132112121nnTNnnnnTnn时，又当要使得MTn对一切正整数n恒成立，只要M61，所以存在实
15、数M使得MTn对一切正整数n都成立，M的最小值为61。6.3 等比数列知识要点1 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数 列 ， 这 个 常 数 叫 做 等 比 数 列 的 公 比 ， 记 为)0qq，（。2 递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaqaa推广：通项公式：递推关系：1113 等比中项： 若三个数cba,成等比数列， 则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。4 前n项和公式) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn5 等比数列的基本性质，),(Nqpnm其中qp
16、nmaaaaqpnm，则若反 之 不真！)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，na为等比数列， 则下标成等差数列的对应项成等比数列。，时，nnnnnSSSSSq2321仍成等比数列。6 等比数列与等比数列的转化na是等差数列) 10(cccna，是等比数列；na是正项等比数列)10(logccanc，是等差数列；na既是等差数列又是等比数列na是各项精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 37 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载不为零的常数列。7 等比数列的判定法定义法：（常数）qaann 1na为等比数列；中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；前n项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为 等 比 数列。1103107422222)(nnf设) 18(72) 18(72) 18(72) 18(72)()(431nnnnDCBADnfNn）（等于，则2 已知数列na是等比数列，且mmmSSS323010，则，70 （问题引入）猜
