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1、平面向量题解一、选择题1 （安徽卷） 如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则A111ABC和222A B C都是锐角三角形B111ABC和222A B C都是钝角三角形C111ABC是钝角三角形，222A B C是锐角三角形D111ABC是锐角三角形，222A B C是钝角三角形解：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222A B C是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以2
2、22A B C是钝角三角形。故选D。2 （福建卷） 已知OA=1， OB=3,OBOA=0,点 C 在 AOB 内，且 AOC=30 ，设OC=mOA+nOB(m、nR)，则nm等于A.31B.3 C.33D.3解析：1,3,.0,OAOBOAOB点 C 在 AB 上，且AOC30o。设 A 点坐标为 (1 ， 0) ， B点 的 坐 标 为 (0 ，3) ， C点 的 坐 标 为 (x ， y)=(34，34) ，(,)OCmOAnOB m nR，则m=43，n=41，mn=3，选 B. 以|, |, |OBnOAmOC为三边作一个三角形，则为直角三角形。|30tanOAmOBn330tan
3、|OAOBnm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -3 （福建卷） 已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（A）5 （B） 4 （C ） 3 （D）1 解析：向量a与b的夹角为120o，3,13,aab3| | cos120|2a babb，222|2|abaa bb，21393|bb，则b=1(舍去 )或b=4，选 B. 4 （湖北卷） 已知向量( 3,1)a，b是不平行于x轴的单位向量，且3a b，则bA （3 1,22） B （13,22） C （1 33,44
4、） D （1 , 0）解： 设b（ x，y） ，则有22331(0)xyxyy且解得 x12，y32，选 B 5 （湖北卷） 已知非零向量a、b，若 a2b 与 a2b 互相垂直，则baA. 41B. 4 C. 21D. 2 解： 由 a2b与 a2b互相垂直（a2b） （a2b） 0a24b20 即|a|24|b|2|a|2|b|，故选 D 6 （湖南卷） 已知| 2| 0ab, 且关于x的方程2|0 xa xa b有实根 , 则a与b的夹角的取值范围是 ( ) A.0,6 B.,3 C.2,33 D.,6解析：,0|2|ba且关于x的方程0|2baxax有实根，则2|4aa b0，设向量,
5、a b的夹角为 ， cos=| |a bab221|1412|2aa， ,3，选 B. 7 （ 辽 宁 卷 ）ABC的 三 内 角,A B C所 对 边 的 长 分 别 为, ,a b c设 向 量(, )pac b,(,)qba ca,若/pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C) 2(D) 23精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -【 解 析 】222/()()()pqac cab babacab， 利 用 余 弦 定 理 可 得2 c o s1C，即1cos23CC，故选择答案B
6、。8 （辽宁卷）设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,点P是线段AB上的一个动点,APAB,若OP ABPA PB,则实数的取值范围是(A)112(B) 2112(C) 12122(D) 221122【解析】(1)(1,),(1)(1,1),(,)APABOPOAOBPBABAPABAPAB2(1,)( 1,1)(,)(1,1)2410OP ABPA PB解得 : 221122,因点P是线段AB上的一个动点,所以01,即满足条件的实数的取值范围是2112,故选择答案B. 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等. 9 （辽宁卷） 已知等腰ABC的腰为底的2
7、 倍，则顶角A的正切值是（）323158157解： 依题意，结合图形可得15tan215A，故221522tan15152tan7151tan1 ()215AAA，选 D 10 （全国卷I ）ABC的内角 A、B、 C 的对边分别为a、 b、c，若 a、b、c 成等比数列，且2ca，则cosBA14 B34 C24 D23解：ABC中， a、b、c 成等比数列，且2ca，则 b=2a，222cos2acbBac=222242344aaaa，选 B. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - -
8、-11 （四川卷） 如图，已知正六边形123456PP PP PP，下列向量的数量积中最大的是（ A）1213PPPP（B）1214PPPP（ C）1215PPPP（D）1216PPPP解 析 ： 如 图 ， 已 知 正 六 边 形123456P P P P P P， 设 边 长12|PPa， 则 213P PP=6. ，13|3PPa,1213,PP PP=233322aaa， 214P P P=3，14| 2PPa，1214,PP PP=2122aaa，1215,PP PP=0，1216,PP PP0，数量积中最大的是1213,PP PP，选 A. 12 （四川卷）设, ,a b c分别是
9、ABC的三个内角,A B C所对的边，则2ab bc是2AB的（ A）充要条件（B）充分而不必要条件（ C）必要而充分条件（D）既不充分又不必要条件解析： 设, ,a b c分别是ABC的三个内角,A B C所对的边，若2ab bc，则2sinsin(sinsin)ABBC，则1cos21cos2sinsin22aBBC，1(cos2cos2 )sinsin2BABC，sin()sin()sinsinBAABBC，又sin()sinABC，sin()sinABB，ABB，2AB，若 ABC 中，2AB，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到2ab bc，所以2ab bc是2AB的充要条件，选A.
10、 13 （浙江卷） 设向量, ,a b c满足0abc,| 1,|2abab,则2|c(A)1 (B)2 (C)4 (D)5 解： 由0abcabc，故2|c2()ab22|2|aa bb5 14 (重庆卷 )与向量a=b,21,2727,21的夹解相等，且模为1 的向量是(A) 53,54 (B) 53,54或53,54精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -（ C）31,322（D）31,322或31,322解析：与向量7117,2222ab的夹角相等，且模为1 的向量为(x ， y
11、) ，则22171172222xyxyxy，解得4535xy或4535xy，选 B. 二、填空题15.（北京卷） 若三点(2,2),( ,0),(0, )(0)AB aCb ab共线， 则11ab的值等于 _. 解：a22AB （ ， ），C2b2A （ ， ），依题意，有（ a2） （b2）4 0，即 ab2a2b 0 所以11ab1216 （北京卷） 若三点A(2 ，2) ，B(a,0),C(0,4)共线，则a 的值等于。解：AB（ a2， 2） ，AC（ 2， 2） ，依题意，向量AB与AC共线，故有2（a2） 40，得 a4 17.（北京卷） 在ABC中，若sin:sin:sin5:
12、7:8ABC，则B的大小是 _. 解：sin:sin:sin5: 7:8ABCa b c5 7 8 设 a5k，b 7k，c 8k，由余弦定理可解得B的大小为3. 18.（北京卷） 已知向量 a=(cos,sin), b=(cos,sin), 且 ab，那么 a+b 与 a- b的夹角的大小是 .解： a+b（ coscos，sinsin） ，a- b（cos cos，sinsin） ，设a+b 与 a- b 的夹角为，则 cos 0，故219.（江西卷） 已知向量(1 sin )a，(1cos )b，则ab的最大值为解：ab|sin cos |2|sin（ 4）|2。精品学习资料 可选择p
13、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -20.（全国II ） 已知 ABC 的三个内角A、B、C 成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线 AD 的长为解析 : 由ABC的三个内角A、B、C 成等差数列可得A+C=2B 而 A+B+C=可得3BAD 为边 BC 上的中线可知BD=2, 由余弦定理定理可得3AD。21. （ 浙江卷）设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)c,ab,若 a =1,则 a22|b+c2的值是【考点分析 】本题考查向量的代数运算，基础题。解析 ：10000,babac
14、bcabababacbcacbabacba222bac，所以4222cba注意 a+b+c=0, (a-b) c 则)(bac)()(baba三、解答题22. （湖北卷） 设函数( )()f xa bc，其中向量(sin,cos )axx，(sin, 3cos )bxx，(cos ,sin)cxx，xR。（） 、求函数( )f x的最大值和最小正周期；（） 、将函数( )f x的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。解： ()由题意得， f(x)a
15、(b+c)=(sinx,cosx) (sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+2sin(2x+43). 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -所以， f(x) 的最大值为2+2，最小正周期是22. （）由sin(2x+43)0 得 2x+43k.，即 x832k,kZ，于是 d（832k， 2） ，,4)832(2kdkZ. 因为 k 为整数，要使d最小，则只有k1，此时 d（8， 2）即为所求 . 23.（湖北卷）
16、 设向量 a( sinx，cosx) ，b( cosx，cosx) ， xR，函数 f(x)a (ab). （）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)23成立的 x 的取值集。解： （）222sincossincoscos11321sin2cos21sin(2)22224fxa aba aa bxxxxxxxx（）fx的最大值为3222，最小正周期是22。（）由（）知3323sin(2)sin(2)02224243222,488fxxxkxkkxkkZ即32fx成立的x的取值集合是3|,88x kxkkZ24 （湖南卷） 如图 3,D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点 ,AB=AD, 记 CAD=, ABC=. (1)证明sincos20; (2)若 AC=3DC,求的值.解： (1) 如图 3，(2 )2,sinsin(2)cos2222，即sincos20B D C A 图 3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -（2） 在ABC中，由正弦定理得3,
