【归纳】高中数学导数知识点归纳

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1、导数及其应用一导数概念的引入1. 导 数 的 物 理 意 义 ： 瞬 时 速 率 。 一 般 的 ， 函 数( )yf x在0 xx处 的 瞬 时 变 化 率 是000()()limxf xxfxx，我们称它为函数( )yf x在0 xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即0()fx=000()()limxf xxf xx2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnf xf xkxx，当点nP趋近于P时，函数( )yfx在0 xx处的导数就是切线PT 的斜率 k，即0000()()lim()n

2、xnf xf xkfxxx3.导函数：当x 变化时，( )fx便是 x 的一个函数，我们称它为( )f x的导函数 . ( )yf x的导函数有时也记作y,即0()( )( )limxf xxf xfxx例一：若2012) 1(/f， 则xfxfx)1()1 (l i m0= ，xfxfx)1 ()1(lim0= ，xxffx4)1 ()1(lim0= ，xfxfx)1 ()21(lim0= 。二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式: 2 若( )f xx,则1( )fxx; 3 若( )sinf xx,则( )cosfxx4 若( )cosf xx,则( )sinfxx; 5 若( )xf

3、 xa,则( )lnxfxaa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -6 若( )xf xe,则( )xfxe7 若( )logxaf x,则1( )lnfxxa8 若( )lnf xx,则1( )fxx2）导数的运算法则1f(x) g(x) f (x)g (x)；2. ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x3. 2( )( )( )( )( )( )( )fxfxg xfxg xg xg x3）复合函数求导( )yf u和( )ug x,称则y可以表示成

4、为x的函数 ,即( ( )yf g x为一个复合函数( ( )( )yfg xg x一、知识自测：1、几个常用函数的导数：（1）f(x)=C ，则 f(x)=_ （2）f(x)=x ，则 f(x)=_ （3）f(x)=2x，则 f(x)=_ （4）f(x)=x1，则 f (x)=_（ 5）f(x)=x，则 f(x)=_ 2、基本初等函数的导数公式：（1）f(x)=C （C 为常数），则 f(x)=_ （2）f(x)=)(Qaxa，则 f(x)=_ （3）f(x)=sinx ，则 f(x)=_ （4）f(x)=cosx ，则 f(x)=_ （5）f(x)=xa，则 f(x)=_ （6） f(x)

5、=xe，则 f(x)=_ （7）f(x)=xalog，则 f(x)=_ （8）f(x)=xln，则 f(x)=_ 3、导数的运算法则：已知)(),(xgxf的导数存在，则： （1）_ )()(xgxf（2）_ )()(xgxf（ 3）)()(xgxf_ 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -二、典型例题xyxyxyxyyxycos)6(log)5(ln)4(1)3(5)2() 1(125、求下列函数的导数例555)4(5)3(1)2() 1(1eyyxyxyx、求下列函数的导数：例 3

6、、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）323yxx（2）1111yxx；（3）sinlnyxxx；（4）4xxy；（5）1ln1lnxyx（6）2(251)xyxxe；（7）sincoscossinxxxyxxx解： （1）332(23)()(2 )(3)32yxxxxx，232yx。（2）11()()11yxx22(1)(1)(1)(1)xxxx221122(1)(1)xxxx221112(1)(1)xxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -2221(1

7、)(1)(1)2xxxx2(1)(1)xxxx2(1)(1)xxyxx（3）(sinln)(ln ) sin yxxxxxx(ln ) sin(ln ) (sin )xxxxxx1(1 ln) sin(ln) cosxxxxxxxsinlnsinlncosxxxxxxsinlnsinlncosyxxxxxx（4）224(4 )1 44 ln 41ln 4()4(4 )(4 )4xxxxxxxxxxxxxy，1ln 44xxy。（5）2211ln212()( 1)2()21ln1ln1ln(1ln)(1ln )xxyxxxxxx22(1ln)yxx（6）22(251)(251) ()xxyxxe

8、xxe22(45)(251)(24)xxxxexxexxe，2(24)xyxxe。（7）sincos()cossinxxxyxxx2(sincos ) (cossin )(sincos ) (cossin )(cossin )xxxxxxxxxxxxxxx2(coscossin) (cossin )(sincos ) (sinsins )(cossin)xxxxxxxxxxxxxco xxxx2sin(cossin)(sincos )s(cossin )xxxxxxxxxco xxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17

9、页 - - - - - - - - -22(cossin )xxxx1、xxxysin322、xeyxln3、xxxy21ln(1) xxy2sinln（2）)32(sin2xy（3）3223xxy（4）4)31(1xy（5）21xxy（6）)132(log22xxy四课堂练习1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数f(x)=x3-2x+3 的导数。2、求下列函数的导数：xxysin13）（3)2(24xxxy4532323xxxy）（)23)(32()4(2xxyxxyxxycossin6sin52）（）（三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数: 一般的 ,函数的单调性

10、与其导数的正负有如下关系：在某个区间( , )a b内，如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递增；如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递减. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -Ps：二阶导数，是 原函数 导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数 y=f （x）的导数 y=f （x）仍然是 x 的函数，则 y=f （x）的导数叫做函数 y=f （x）的二阶导数。几何意义（1）切线 斜率变化的速度（2）函数的凹凸性 （例如 加速度 的方向总是指

11、向轨迹 曲线凹的一侧）2.函数的极值（局部概念）与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( )yf x的极值的方法是: (1) 如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极大值 ; (2) 如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极小值 ; (3) 若f（x）=0 ，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。4.函数的最大 (小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系. 求函数( )yf x在 , a b上的最大值与最小值的步骤（1）求函数( )yf x在( , )a b内的极值；（2）将函数( )yf x的

12、各极值与端点处的函数值( )f a，( )f b比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值 . 可导奇函数的导函数的是偶函数可导偶函数的导函数的是奇函数III. 求导的常见方法：常用结论：xx1|)|(ln. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -形如).()(21naxaxaxy或).()().()(2121nnbxbxbxaxaxaxy两边同取自然对数，可转化求代数和形式 . 无理函数或形如xxy这类函数，如xxy取自然对数之后可变形为xxylnln，对两边求导可得xxxxxyy

13、xyyxxxyylnln1ln. 利用导数研究函数的图象1 f（x）的导函数)(/xf的图象如右图所示，则f（ x）的图象只可能是（D ）（A）（ B）（C）（ D）2函数的图像为14313xxy( A ) 3方程内根的个数为在)2 ,0(076223xx( B ) A、 0 B、1 C、2 D 、3 专题 8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。例 1. ( )fx是31( )213f xxx的导函数，则( 1)f的值是。解析：22xxf，所以3211f答案： 3 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 -4

14、 2 4 -4 2 -2 -2 6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -考点二：导数的几何意义。例2. 已 知 函 数( )yfx的 图 象 在 点(1(1)Mf，处 的 切 线 方 程 是122yx， 则( 1 )( 1 )ff。解析：因为21k，所以211 f，由切线过点(1(1)Mf，可得点 M的纵坐标为25，所以251f，所以311ff答案： 3 例 3. 曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是。解析：4432x

15、xy，点(13)，处切线的斜率为5443k，所以设切线方程为bxy5，将点(13)，带入切线方程可得2b，所以，过曲线上点(13)，处的切线方程为：025yx答案：025yx点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4. 已知曲线 C：xxxy2323，直线kxyl :，且直线l与曲线 C相切于点00,yx00 x，求直线l的方程及切点坐标。解析：直线过原点， 则0000 xxyk。由点00, yx在曲线 C上，则02030023xxxy，2302000 xxxy。又2632xxy，在00, yx处 曲 线C的 切 线 斜 率 为2630200 xxxfk，

16、26323020020 xxxx，整理得：03200 xx，解得：230 x或00 x（舍），此时，830y，41k。所以，直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23。答案：直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例 5. 已知1323xxaxxf在 R上是减函数，求a的取值范围。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - -解析：函数xf的导数为1632xaxxf。对于Rx都有0 xf时，xf为减函数。由Rxxax01632可得012360aa，解得3a。所以， 当3a时，函数xf对Rx为减函数。（1）当3a时，98313133323xxxxxf。由函数3xy在 R上的单调性，可知当3a是，函数xf对Rx为减函数。（2）当3a时，函数xf在 R 上存在增区间。所以，当3a时，函数xf在 R