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1、高中数学典型例题分析第七章平面解析几何初步 7.1 直线和圆的方程一、知识导学1两点间的距离公式: 不论A(x1，y1) ，B(x2，y2) 在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(yyxx，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2x1| 或|AB|=|y2-y1|. 2定比分点公式: 定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中 的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了. 若以A为起点， B为终点， P为分点，则定比分点公式
2、是112121yyyxxx. 当 P点为 AB的中点时，=1，此时中点坐标公式是222121yyyxxx. 3直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角 之间的关系是k=tan . 4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. 名称方程说明适用条件斜截式bkxyk为直线的斜率b 为直线的纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式)(00 xxkyy(00,yx) 为直线上的已知点，k为直线的斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(11, yx)
3、，(22, yx) 是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+by=1 a为直线的横截距b 为直线的纵截距过（ 0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式0CByAxBA，AC，BC分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 33 页 - - - - - - - - -5 两条直线的夹角。 当两直线的斜率1k,2k都存在且1k2k -1 时， tan =21121kkkk，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断. 另外还应注意到： “到角”公式与“夹角”公式的区别 . 6怎么
4、判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在， 可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断 . （1）斜率存在且不重合的两条直线l111bxky，l222bxky，有以下结论：l1l21k=2k，且12l1l21k2k= -1 （2）对于直线l10111CyBxA，l20222CyBxA，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论：l1l221AA=21BB21CCl1l2A1A2+B1B2 = 0 l1与l2相交21AA21BBl1与l2重合21AA=21BB=21CC7点到直线的距离公式. （1）已知一点P（00,yx）
5、及一条直线l：0CByAx，则点 P 到直线l的距离d=2200|BACByAx；（ 2 ） 两 平 行 直 线l1:01CByAx，l2:02CByAx之 间 的 距 离d=2221|BACC. 8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(rbyax，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；（2）圆的一般方程：022FEyDxyx（FED422 0） ，圆心坐标精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 33 页 - - - - - - - - -
6、为（ -2D，-2E） ，半径为r=2422FED. 二、疑难知识导析1直线与圆的位置关系的判定方法. （1）方法一直线：0CByAx；圆：022FEyDxyx. 0022FEyDxyxCByAx消元一元二次方程acb42判别式相离相切相交000（2）方法二直线:0CByAx；圆：222)()(rbyax，圆心（a，b）到直线的距离为d=22|BACBbAa相交相切相离rdrdrd2两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2| 为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；| r1-r2|O1O2|
7、r1+r2两圆相交；| O1O2 |=|r1-r2|两圆内切；0| O1O2| r1-r2|两圆内含 . 三、经典例题导讲例 1 直线 l 经过 P（2,3 ）, 且在 x,y 轴上的截距相等, 试求该直线方程. 错解 ：设直线方程为:1byax, 又过 P(2,3),132ba, 求得 a=5 直线方程为x+y-5=0. 错因 ： 直线方程的截距式: 1byax的条件是 :a0 且 b0, 本题忽略了0ab这一情形. 正解 ：在原解的基础上, 再补充这样的过程: 当直线过 (0,0) 时, 此时斜率为 :230203k, 直线方程为y=23x 综上可得 : 所求直线方程为x+y-5=0 或
8、y=23x . 例 2 已知动点P到 y 轴的距离的3 倍等于它到点A(1,3) 的距离的平方, 求动点 P的轨迹方程 . 错解 ：设动点 P坐标为 (x,y).由已知 3,) 3()1(22yxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 33 页 - - - - - - - - -化简 3x=x2-2x+1+y2-6y+9 . 当 x0 时得 x2-5x+y2-6y+10=0 . 当 x0 时得 x2+ x+y2-6y+10=0 . 错因 ：上述过程清楚点到y 轴距离的意义及两点间距离公式, 并且正确应用绝对值定义将方程分类化简
9、, 但进一步研究化简后的两个方程, 配方后得(x-52 )2+(y-3)2 = 214和 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34两个平方数之和不可能为负数, 故方程的情况不会出现. 正解：接前面的过程 , 方程化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 , 方程化为 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数, 故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214(x 0) 例 3m是什么数时，关于x,y 的方程（ 2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？错解： 欲使方程Ax2+Cy2+F=0表
10、示一个圆，只要A=C 0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m2=-3，当 m=1或 m=-3 时， x2和 y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因： A=C ，是 Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C 0 且FA0. 正解： 欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C 0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m2=-3，(1) 当 m=1时，方程为2x2+2y2=-3 不合题意，舍去. (2) 当 m=-3 时，方程为14x2+14y2=1,即 x2+y2
11、=114 , 原方程的图形表示圆. 例 4自点 A(-3 ，3) 发出的光线L 射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7 0 相切，求光线L 所在的直线方程. 错解： 设反射光线为L, 由于 L和 L关于 x 轴对称， L 过点 A(-3 ，3) ，点 A关于 x 轴的对称点 A (-3 ，-3) ，于是 L过 A(-3 ，-3). 设 L的斜率为k，则 L的方程为y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-3 0，已知圆方程即 (x-2)2+(y-2)21，圆心 O的坐标为 (2，2) ，半径 r 1 因 L和已知圆相切，则O到 L的距离等于半径r
12、 1 即11k5k51k3k32k222整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34L的方程为y+334(x+3) 即 4x-3y+3 0 因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+30. 错因： 漏解正解： 设反射光线为L, 由于 L和 L关于 x 轴对称， L 过点 A(-3 ，3) ，点 A关于 x 轴的对称点 A (-3 ，-3) ，于是 L过 A(-3 ，-3). 设 L的斜率为k，则 L的方程为y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-3 0，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 33 页
13、 - - - - - - - - -已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 1，圆心 O的坐标为 (2 ， 2)，半径 r 1 因 L和已知圆相切，则O到 L的距离等于半径r 1 即11k5k51k3k32k222整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34或 k43L的方程为y+334(x+3);或 y+343(x+3) 。即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0 因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+30 或 3x+4y-3 0. 例 5求过直线042yx和圆014222yxyx的交点， 且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2）有最小面积 . 解：
14、 设所求圆的方程是：04214222yxyxyx即：04122222yxyx（1）因为圆过原点，所以041，即41故所求圆的方程为：0274722yxyx. （2）将圆系方程化为标准式，有：545245222222yx当其半径最小时，圆的面积最小，此时52为所求 . 故满足条件的圆的方程是54585422yx. 点评： （1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小 . 例 6（ 06 年辽宁理科） 已知点 A(11,yx) ， B(22, yx) （21xx0） 是抛物线)0
15、(22ppxy上的两个动点，O是坐标原点，向量OBOA,满足OBOAOBOA . 设圆 C的方程为0)()(212122yyyxxxyx（1）证明线段AB是圆 C的直径；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 33 页 - - - - - - - - -（2）当圆 C的圆心到直线02yx的距离的最小值为552时，求p的值 . 解： （1）证明OBOAOBOA，（OBOA）2（OBOA）2，整理得：OBOA0 21xx21yy0 设 M （yx,）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MBMA0 即)(21xxxx)(21yyyy0
16、 整理得：0)()(212122yyyxxxyx故线段 AB是圆 C的直径 . （2）设圆 C的圆心为 C（yx,） ，则222121yyyxxx1212pxy，)0(2222ppxy22221214pyyxx又21xx21yy0 ，21xx21yy21yy222214pyy21xx0，21yy0 21yy 42p2121222122212141)2(41)(412yypyyyypyypxxx)2(122pyp所以圆心的轨迹方程为222ppxy设圆心 C到直线02yx的距离为，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 33 页 - - - - - - - - -pppyypypyx5|)( |5|2)2(1|5|2|2222当yp时，有最小值5p，由题设得5p552p2. 四、典型习题导练1 直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为（）A.6 B.4 C.3 D.22. 已知直线x=a(a 0)和圆 (x-1)2+y2=4 相切，那么 a 的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数x、 y 满
