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1、2.1 数列的概念与简单表示法教学目的：1. 通过本节学习 , 让学生理解数列的概念,理解数列是一种特殊函数, 把数列融于函数之中; 2. 了解数列的通项公式, 并会用通项公式写出数列的任意一项, 对于比较简单的数列, 会根据前几项写出它的通项公式; 3. 理解递推公式的意思,能类比函数画出数列通项公式的图象; 4. 理解通项公式与递推公式的异同; 5. 通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式, 充分发挥学生的主体作用, 并通过日常生活重的大量实例, 鼓励学生动手试验, 大胆猜想 , 培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度; 6. 通过本节章头图的学习, 体会数学来源于生活,
2、理解大自然的丰富多彩, 感受 “大自然是懂数学的” , 从而提高学生学习数学的兴趣. 教学重点：1. 理解数列及其有关概念;2. 了解数列的通项公式和递推公式的意义, 并能根据通项公式或递推公式写出数列的前几项;3. 了解数列和函数之间的关系. 教学难点：1. 根据数列的前几项, 归纳出数列的通项公式;2. 理解递推公式和通项公式的关系;3. 数列的递推公式及其应用的处理技巧. 教学过程：一、引入新课：创设情景引导学生阅读章头图几文字说明,“有人说 , 大自然是懂数学的” “树木的分叉、 花瓣的数量、植物的种子或树木的排列都遵循了某种数学规律”, 那么大自然是怎么懂数学的?都遵循了什么样的规律
3、?真是神奇而又奥妙. 插图右侧是四种不同类型的花瓣, 其花瓣树木分别是13,8,5,3, 你看出这几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个, 你说奇妙不奇妙?这种规律就是我们将要学习的数列. 引例1. 国际象棋中的每个格子中一次放入这样的麦粒数排成一列数634322,2,2,2,2,12. 某班学生的学号由小到大排成一列数45,4,3,2,13.1984 年至 , 我国奥运健儿在历次奥运会上获得的金牌数排成一列数51,32,28,16,16,5,15像上面这些例子中, 按一定次序排成的一列数, 它们有什么共同特点? 共同特点 : (1)每一项都是一个数; (2)这些数在排列上按一定顺序来.
4、 二、讲解新课：1. 数列的概念按一定顺序排列的一列数叫做数列, 数列中的每一个数叫做数列的项. 数列中的每一项都和它精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -的序号有关, 排在第一位的数称为这个数列的第1项, 通常也叫做首项, 排在第二位的数称为这个数列的第2项, , 排在第n位的数称为这个数列的第n项. 注: 从数列定义可以看出, 数列的数是按一定次序排列的, 如果组成数列的数相同而排列次序不同 , 那么他们就不是同一数列, 显然数列和数集有本质的区别. 2. 数列的记法数列的一般形式
5、可以写成:,21naaa, 可简记为na. 其中na是数列的第n项. 3. 数列的通项公式如果数列na的第n项na与序号n之间的关系可以用一个公式)(nfan来表示 , 那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一. 如,0,1 ,0,1,0,1 ,0,1, 它的通项公式可以是2)1(11nna, 也可以是|21cos|nan. (2)通项公式的作用: 求数列中的任意一项; 检验某数是不是该数列中的项, 并确定是第几项 . 4. 数列的本质从函数的观点看, 数列可以看作一个定义域是正整数集*N( 或它的子集,3,2,1n) 的函数 .当自变量从小到大依次取值时
6、对应的一列函数值. 而数列的项是函数值, 序号就是自变量, 数列的通项公式就是相应函数的解析式. 其图象是一群孤立点. 由于函数有三种表示法, 所以数列也有三种表示法: 列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列. 5. 数列的分类 (1)按数列的项数是否有限, 分为有穷数列和无穷数列. 项数有限的数列叫做有穷数列; 项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按数列的每一项随序号的变化趋势, 分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 一个数列从第2项起 , 每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 一个数列从第2项起 , 每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列; 各项相等的数列叫做常
7、数列; 一个数列从第2项起 , 有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. 6. 递推公式已知数列的第一项( 或前几项 ), 且任一项na与它前一项1na( 或前几项 ) 间的关系可以用一个公式来表示 , 这个公式叫做数列的递推公式. 注: 已知数列的递推公式时, 采用逐次代值法, 可以求出数列的其它项值. 三、讲解范例：例 1 写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列个数: (1)41,31,21,1; (2)0,2,0,2. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - -
8、 - - - - (3)7,5,3,1 (4)515,414,313,2122222解: (1)nann1)1( (2)|21cos|2nan(3)12 nan (4)11)1(2nnan类型题 :根据下面数列的前几项的值, 写出数列的一个通项公式. (1),0,1 ,0,1 (2)356,245,154,83,32 (3),7777,777,77,7 (4),31,25,19,13,7,1 (5),9,9,7,7,5,5,3,3,1 (6),15,7,3,1 (7),42,30,20,12,6,2 (8),9999.0,999.0,99.0,9.0 (9),316,3,34,31 (10),
9、9910,638,356,154,32答案 : (1)2)1(11nna (2)1)1(1)1(2nnann (3)110(97nna (4)56()1(nann (5)2)1(1nnna (6)12nna (7)1()1(1nnann (8)nna1011 (9)32nan (10)12)(12(2nnnan点评 :这种由“数”给出数列的 “式”的题目 , 解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式. 但是学生应该注意到, 数列的通项公式并不是唯一的 . 常用下列手段来解决这类问题: 用n)1(和1)1(n来调整符号 ; 各项均化为分数, 平方数 , 指
10、数 , 对数及同类式子再找规律 ; 借助一些特殊的数列:2)1(,2)1(1,12,112nnannnnn有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示. 例 2 根据下面数列na的通项公式 , 写出前5项. (1)1nnan (2)nann)1( (3)2na解:略例 3 在数列na中,21,3101aa, 通项公式是项数的一次函数. (1)求数列na的通项公式 , 并求2008a; (2)若nnab2, 求数列nb的通项公式 .解 :略例 4 已知数列na的通项公式为3922nnan. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15
11、页 - - - - - - - - - (1)试问2是否是数列na中的项 ?(2) 求数列na的最大项 ; (3) 若0na, 求n. 解:略例 5 已知数列,513,25,37,2,1 (1)写出这个数列的一个通项公式na; (2)根据na判断数列na的增减性和有界性. 解 : (1)nnan23 (2)因为0122)23()123(1nnnnaann所以数列na是递增数列又因为3230nan所以数列na是有界数列 . 例 6 已知数列na的首项11a, 且)1(111naann, 写出这个数列的前5项. 解: 略例 7 (1)已知数列na的首项21a, 且)1(41naann, 试写出这个
12、数列的前4项, 并归纳出通项公式. (2)在数列na中,01a,)12(1naann(*Nn), 试写出这个数列的前4项,并归纳出通项公式. 解:略例 8 设数列na是以1为首项的正数列,且)(0)1(81221Nnaanaannnnn, 求数列na的通项公式 . 解:略类型题 1: 已知数列na满足21a,nnaa21, 写出前5项, 并猜想na. 类型题 2: 已知数列na满足21a,221nnnaaa, 写出前5项 , 并猜想na. 类型题 3:已知数列na满足31a,231nnaa, 写出前5项, 并猜想na. 例 9 已知数列na的递推公式是nnnaaa2312, 且3,121aa.
13、 求: (1)5a; (2)127是这个数列中的第几项? 例 10 若记数列na的前n项和为nS, 试证明1111nSnSSannn. 证明 :略变式题1:已知数列na的前n项和为nnSn22, 求na. 变式题2:已知数列na的前n项和为12nnSn, 求na. 变式题 3:已知数列na的前n项和为12nnS, 求na. 例 11 如图中的三角形成为谢宾斯基(Sierpinski)三角形 . 在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项 , 请写出这个数列的一个通项公式, 并在直角坐标系中画出它的图象 .(P30 例 2) 解 :略例12如图是第七届国际数学教育大会的会徽,
14、会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成 , 其中18732211AAAAAAOA, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -记87321,OAOAOAOAOA的长度所在的数列为nl(81,*nNn) (1) 写出数列的前4项;(2) 写出数列nl的一个递推关系式;(3) 求nl的通项公式 ;(4)如果把图中的三角形继续做下去, 那么20089, OAOA的长度分别为多少?解: 略课题: 2.2 等差数列教学目标知识与技能： 了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，
15、能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项过程与方法： 经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。教学难点等差数列的性质教学过程. 课题导入 创设情境 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的 几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法. 这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本 P41 页的 4 个例
16、子： 0，5，10，15，20，25， 48，53，58，6318，15.5 ，13，10.5 ，8，5.5 10072，10144，10216，10288，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）； （误：每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项）， 我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列. 讲授新课1等差数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列na, 若精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -na1na=d (与 n 无关的数或字母)，n 2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。思考： 数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2等差数列的通项公式：dnaan)1(1【或nadmnam)(】
