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1、选修 4-5 不等式选讲综合测试一、选择题:本大题共12 小题,每小题5分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1若| |acb,则下列不等式中正确的是() AabcBacbC| |abcD| |abcD | |cbacbcb2设0,0,1xyxyAxy, 11xyBxy,则,A B的大小关系是() AABBABCABDABB 11111xyxyxyBAxyxyyxxy,即AB通过放大分母使得分母一样,整个分式值变小3设命题甲:|1|2x,命题乙:3x,则甲是乙的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 命题甲:3x,或1x,甲可推
2、出乙4已知, ,a b c为非零实数,则222222111()()abcabc最小值为 ( ) A7B9C12D18 B 22222222111111()()()(1 11)9abcabcabcabc,所求最小值为95正数, , ,a b c d满足adbc,| |adbc,则有() AadbcBadbcCadbcDad与bc大小不定C 特殊值:正数2,1,4,3abcd,满足| |adbc,得adbc或由adbc得222222aaddbbcc,2222()()22adbcbcad, (1)由| |adbc得222222aaddbbcc, (2)将( 1)代入( 2)得2222bcadbcad
3、,即44bcad,adbc6如果关于x的不等式250 xa的非负整数解是0,1,2,3,那么实数a的取值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - -范围是() A4580aB5080aC80aD45aA 250 xa,得55aax,而正整数解是1,2,3,则345a7设, ,1a b c,则log2log4logabcbca的最小值为() A2B4C6D8C log,log,log0abcbca,33lglglglog2log4log3 log2log4log3 86lglglgabcabcb
4、cabcabcaabc8已知| 23|2x的解集与2|0 x xaxb的解集相同,则() A53,4abB53,4abC53,4abD174ab由| 23|2x解得1522x,因为| 23|2x的解集与2|0 x xaxb的解集相同,那么12x或52x为方程20 xaxb的解,则分别代入该方程,得11304252550442aabbab9已知不等式1()()9axyxy对任意正实数,x y恒成立,则正实数a的最小值为() A2B4C6D8B 21()()1(1)ayaxxyaaxyxy,2(1)9a,4a10设222, ,0,3a b cabc,则abbcca的最大值为() A0B1C3D33
5、3C由排序不等式222abcabbcac,所以3abbcca11已知2( )3(1) 32xxf xk,当xR时,( )f x恒为正,则k的取值范围是() A(, 1)B(,221)C( 1,2 21)D( 2 21,221)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - -B 23(1)320 xxk,232(1) 3xxk,即23213xxk,得232 213xxk,即2 21k12用数学归纳法证明不等式111113123224nnnn(2,)nnN的过程中,由nk逆推到1nk时的不等式左边()
6、 A 增加了1项)1(21kB增加了 “)1(21121kk” ,又减少了 “11k”C增加了2项)1(21121kkD增加了)1(21k,减少了11kB 注意分母是连续正整数二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上13不等式2| 1xx的解集为|1x x0 x,|2 | |xx,即22(2)xx,10 x,1x,原不等式的解集为|1x x14已知函数2( )1f xxax,且|(1)| 1f,那么a的取值范围是13a2( )1f xxax,(1)2fa,而|(1)| 1f,即|2| 1a15函数212( )3(0)fxxxx的最小值为 _93222123
7、3123312( )3392222xxxxf xxxxx16若, ,a b cR,且1abc,则cba的最大值是32222(111)(111 )()3abcabc三、解答题:本大题共6 小题,共70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (本小题满分10 分)求证:22233abcabc证明:2222222(111 )()()abcabc,精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - -2222()39abcabc,即22233abcabc18 (本小题满分10 分)无论, x y取任何
8、非零实数,试证明等式111xyxy总不成立证明:设存在非零实数11,xy,使得等式1111111xyxy成立,则11111111()()y xyx xyx y,2211110 xyx y,即221113()024yxy,但是10y,即221113()024yxy,从而得出矛盾故原命题成立19 (本小题满分12 分)已知a,b,c为ABC的三边,求证:2222()abcabbcca证明:由余弦定理得2222cosbcAbca,2222cosacBacb,2222cosabCabc,三式相加得2222cos2cos2cosbcAacBabCabc,而cos1,cos1,cos1ABC,且三者至多一
9、个可等于1,即2cos2cos2cos222bcAacBabCbcacab,所以2222()abcabbcca20 (本小题满分12 分)已知, ,a b c都是正数,求证:32()3()23ababcababc证明:要证32()3()23ababcababc,只需证323abababcabc,即323abcabc,移项得323cababc,精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - -, ,a b c都是正数,33233cabcababcabababc,原不等式成立21 (本小题满分12 分)
10、某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,顶部每平方米造价20元,试问: (1)仓库面积S的最大允许值是多少?(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?解:如图,设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,则有Sxy,由题意得40245203200 xyxy,应用二元均值不等式,得32002 409020 xyxy12020 xyxy12020SS6160SS,即(16)(10)0SS,160S,100S,100S因此,S的最大允许值是100平方米,取得此最大值的条件是4090 x
11、y,而100 xy,求得15x,即铁栅的长应是15米22 (本小题满分12 分)已知( )fx是定义在(0,)上的单调递增函数,对于任意的,0m n满足()( )()f mf nf mn,且a,b (0)ab满足|( ) | |( ) |2|()|2abf af bf( 1)求(1)f;( 2)若(2)1f,解不等式( )2f x;( 3)求证:322b解: (1)因为任意的,0m n满足()( )()f mf nf mn,令1mn,则(1)(1)(1)fff,得(1)0f;精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 8 页 - -
12、- - - - - - -(2)( )21 1(2)(2)f xff,而(2)(2)(4)fff,得( )(4)f xf,而( )f x是定义在(0,)上的单调递增函数,04x,得不等式( )2fx的解集为(0,4);(3)(1)0f,( )f x在(0,)上的单调递增,(0,1)x时,( )(1)0f xf,(1,)x时,( )(1)0f xf又|( ) | |( ) |f af b,( )( )f af b或( )( )f af b,0ab,则( )( ),( )( )f af bf af b,( )( )f af b,( )( )()0(1)f af bf abf,1ab,得01ab|(
13、 ) | 2 |()|2abf bf,且1b,12abab,( )0,()02abf bf,( )2 ()2abf bf,2( )()()() 222abababf bfff,得2()2abb,2242baabb,即2242bba,而01a,20421bb,又1b,322b答案与解析:备用题:1已知ab,cd,则下列命题中正确的是() AacbdBabdcCacbdDcbdaD 令1,0,1,2abcd,可验证知D 成立,事实上我们有abba,cd,可得cbda2已知,a bR,0h设命题甲:,a b满足| 2abh;命题乙:|1|ah且|1|bh,那么甲是乙的() 精品学习资料 可选择p d
14、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - -A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分条件也不必要条件B |1|ah,|1|bh,则|1|1|2abh,而|1|1| |abab,即| 2abh;命题甲:| 2abh不能推出命题乙:|1|ah且|1|bh3证明11111234212nn()nN,假设nk时成立,当1nk时,左端增加的项数是() A1项B1k项Ck项D2k项D 从12121kk增加的项数是2k4如果|2 |5|xxa恒成立,则a的取值范围是7a|2 |5 |7xx,而|2 |5|xxa恒成立,则7
15、a,即7a5已知函数( )log ()mf xmx在区间3,5上的最大值比最小值大1,则实数m36显然0mx,而3,5x,则5m,得3,5是函数( )log ()mf xmx的递减区间,max( )log (3)mf xm,min( )log (5)mf xm,即log (3)log (5)1mmmm,得2630mm,36m,而1m,则36m6要制作如图所示的铝合金窗架,当窗户采光面积为一常数S时(中间横梁面积忽略不计),要使所用的铝合金材料最省,窗户的宽AB与高AD的比应为2:3设宽AB为x,高AD为y,则xyS,所用的铝合金材料为32xy,322 62 6xyxyS,此时32xy,:2:
16、3x y精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - -7若01ab,试比较1maa与1nbb的大小7解:1111()()()()bamnabababababab,即1()(1)mnabab,而01ab,则101,1abab,得10,10abab,即0mn,所以mn8已知0c,设P:函数xyc在R上单调递减,Q:不等式|2 | 1xxc的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围解:xyc在R上单调递减,01c,又22 (2 )|2 |2(2 )xc xcxxccxc的最小值是2c,21c,即12c,由题设,当P为真Q为假时,有01c,且102c,102c;当P为假Q为真时,有1c且12c,1c故c的取值范围是1(0,1,)2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -