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1、2、指数函数的图象及其性质一、教学内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学(1) (人教 A版)第二章第一节第二课( 2.1.2 ) 指数函数及其性质。根据我所任教的学生的实际情况,我将指数函数及其性质划分为两节课(探究图象及其性质,指数函数及其性质的应用),这是第一节课“探究图象及其性质” 。 指数函数是重要的基本初等函数之一, 作为常见函数, 它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。二、学生学习况情分析指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的, 是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之
2、前的学习中给出了两个实际例子( GDP 的增长问题和炭 14 的衰减问题),已经让学生感受到指数函数的实际背景, 但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题,通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。三、设计思想 1. 函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容,其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来,通过具有一定思考价值的问题, 激发学生的求知欲望持久的好奇心。我们知道,函数的表示法有三种:列表法、图象法、解析法,以往的函数的学习大多只关注到图象的作用,这其实只是借助了图象的直观性,只是从一个角度看函数,是片面
3、的。 本节课,力图让学生从不同的角度去研究函数,对函数进行一个全方位的研究,并通过对比总结得到研究的方法,让学生去体会这种的研究方法, 以便能将其迁移到其他函数的研究中去。2. 结合参加我校组织的两个课题 对话反思选择 和新课程实施中同伴合作和师生互动研究的研究,在本课的教学中我努力实践以下两点:. 在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。. 在教学过程中努力做到生生对话、 师生对话,并且在对话之后重视体会、总结、反思,力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。3. 通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。四、教学目标精品学习资料 可
4、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - -根据任教班级学生的实际情况, 本节课我确定的教学目标是: 理解指数函数的概念,能画出具体指数函数的图象;在理解指数函数概念、性质的基础上,能应用所学知识解决简单的数学问题;在教学过程中通过类比, 回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法,加深对指数函数的认识, 让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要; 同时通过本节课的学习, 使学生获得研究函数的规律和方法;培养学生主动学习、 合作交流的意识。五、教学重点与难点教学重点:指数
5、函数的概念、图象和性质。教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。六、教学过程:(一)创设情景、提出问题(约 3 分钟) 师:如果让 1 号同学准备 2 粒米, 2 号同学准备 4粒米, 3 号同学准备 6 粒米,4 号同学准备 8 粒米, 5 号同学准备 10 粒米,按这样的规律,51 号同学该准备多少米?学生回答后教师公布事先估算的数据:51 号同学该准备102 粒米,大约 5克重。师:如果改成让 1 号同学准备 2 粒米, 2 号同学准备 4 粒米, 3 号同学准备8 粒米, 4 号同学准备 16 粒米, 5 号同学准备 32 粒米,按这样的规律,51号同学该准备多少
6、米?【学情预设:学生可能说很多或能算出具体数目】师:大家能否估计一下, 51 号同学该准备的米有多重?教师公布事先估算的数据:51号同学所需准备的大米约重1.2 亿吨。师:1.2 亿吨是一个什么概念?根据2007 年 9 月 13 日美国农业部发布的最新数据显示, 20072008年度我国大米产量预计为1.27 亿吨。这就是说 51 号同学所需准备的大米相当于20072008 年度我国全年的大米产量!【设计意图: 用一个看似简单的实例, 为引出指数函数的概念做准备;同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长,激发学生学习新知的兴趣和欲望。】在以上两个问题中, 每位同学所需准备的米粒数
7、用y表示,每位同学的座号数用x表示,y与x之间的关系分别是什么?学生很容易得出 y=2x(xN)和xy2 (xN)【学情预设:学生可能会漏掉x的取值范围,教师要引导学生思考具体问题中x的范围。 】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - -(二)师生互动、探究新知1指数函数的定义师: 其实, 在本章开头的问题 2中, 也有一个与xy2 类似的关系式xy073.1(20, xNx)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出): (约 3 分钟)xy2 ( xN)和xy073.1(20,xNx)这两个解
8、析式有什么共同特征?它们能否构成函数?是我们学过的哪个函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?【设计意图 :引导学生从具体问题、 实际问题中抽象出数学模型。 学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数,发现xy2 ,xy073.1是一个新的函数模型,再让学生给这个新的函数命名,由此激发学生的学习兴趣。】引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。师:如果可以用字母a代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成xay的形式。自变量在指数位置,所以我们把它称作指数函数。让学生讨论并给出指数函数的定义。 (约 6 分钟)对于底数的分类,可将问题分解为:若0a会有什么问题?
9、(如2a,21x则在实数范围内相应的函数值不存在)若会有什么问题?(对于0 x,xa都无意义)若又会怎么样?(无论取何值 , 它总是 1, 对它没有研究的必要. )师:为了避免上述各种情况的发生, 所以规定且. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。【学情预设: 若学生从教科书中已经看到指数函数的定义,教师可以问,为什么要求10aa,且;1a为什么不行?若学生只给出xay,教师可以引导学生通过类比一次函数(0,kbkxy) 、 反比例函数(0,kxky) 、 二次函数(0,2acbxaxy)中的限制条件,思考指数函数中底数的限制条件。 】【设计意图:对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研
10、究一个函数应注意它的实际意义和研究价值;讨论出10aa,且,也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - -接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义,能否写出一两个指数函数?教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断,如xy32,xy23,xy2 。【学情预设:学生可能只是关注指数是否是变量,而不考虑其它的。】【设计意图:加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】2指数函数性质提出两个问题(约3 分钟)目前研究函数一般可以包括哪些方面;【设计意图 :让学生在
11、研究指数函数时有明确的目标:函数三个要素 (对应法则、定义域、值域、 )和函数的基本性质(单调性、奇偶性) 。 】研究函数(比如今天的指数函数) 可以怎么研究?用什么方法、 从什么角度研究?可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究;可以从具体的函数入手(即底数取一些数值) ;当然也可以用列表法研究函数,只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质, 可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍!还可以借助一些数学思想方法来思考。【设计意图 :让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法,由此引导学生可以从图象和解析式 (包括列表 )不同的角度对函数进行研究;对学生进行数学思想方法 (从一般
12、到特殊再到一般、 数形结合、分类讨论)的有机渗透。】分组活动,合作学习(约8 分钟)师: 好, 下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。让学生分为两大组,一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数,一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数;每一大组再分为若干合作小组(建议4 人一小组) ;每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。【学情预设: 考虑到各组的水平可能有所不同,教师应巡视, 对个别组可做适当的指导。】【设计意图 :通过自主探索、 合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。 】交流、总结(约1012 分钟)师:下面我们开一
13、个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况,此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果,并对比从两个角度入手研究的结果。教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - -学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外,再引导学生注意是否还有其它性质?师:各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢?(如过定点(0,1) ,xay与xay)1(的图象关于 y 轴对称)【学情预设:首先选
14、一从解析式的角度研究的小组上台汇报;对于从图象的角度研究的,可先选没对底数进行分类的小组上台汇报;问其它小组有没不同的看法,上台补充, 让学生对底数进行分类, 引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性,以什么为分界, 教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化。 】【设计意图:函数的表示法有三种:列表法、图象法、解析法,通过这个活动,让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手,从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质,而具体的性质还是要通过对解析式的论证;特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。让学生上台汇报研究成果, 让学生有种成就感, 同时还可训练其对数学问题的分析和表
15、达能力,培养其数学素养;对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点,让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。 】师: 从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点(0, 1) ,但定义域、值域却不可确定;从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域,但对底数的分类却很难想到。教师通过几何画板中改变参数a的值,追踪xay的图象,在变化过程中,让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。师生共同总结指数函数的图象和性质,教师可以边总结边板书。图象定义域R 值 域性过定点( 0,1)0a1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -
16、- 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - -质非奇非偶在 R上是减函数在 R上是增函数(三)巩固训练、提升总结(约 8 分钟)1例:已知指数函数)1, 0()(aaaxfx且的图象经过点), 3(,求)3(),1(),0(fff的值。解:因为xaxf)(的图象经过点),3(,所以)3(f即3a,解得31a,于是3) 3(xf。所以1)3(,) 1(, 1)0(3fff。【设计意图:通过本题加深学生对指数函数的理解。】师:根据本题,你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗?师:从方程思想来看,求指数函数就是确定底数,因此只要一个条件,即布列一个方程就可以了。【设计意图 :让学生明确底数是确定指数函数的要素,同时向学生渗透方程的思想。】2 : 在同一平面直角坐标系中画出xy3 和xy)31(的大致图象,并说出这两个函数的性质;求下列函数的定义域:22xy,xy1)21(。3 师:通过本节课的学习, 你对指数函数有什么认识?你有什么收获?【学情预设 :学生可能只是把指数函数的性质总结一下,教师要引导学生谈谈对函数研究的学习,即怎么研究一个函数。】【设计意图: 让学生再一次