【教学设计】高中数学指数函数的图象及其性质教学设计

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1、2、指数函数的图象及其性质一、教学内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学（1） （人教 A版）第二章第一节第二课（ 2.1.2 ） 指数函数及其性质。根据我所任教的学生的实际情况，我将指数函数及其性质划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质” 。 指数函数是重要的基本初等函数之一， 作为常见函数， 它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。二、学生学习况情分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的， 是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之

2、前的学习中给出了两个实际例子（ GDP 的增长问题和炭 14 的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景， 但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。三、设计思想 1. 函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题， 激发学生的求知欲望持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面

3、的。 本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法, 以便能将其迁移到其他函数的研究中去。2. 结合参加我校组织的两个课题 对话反思选择 和新课程实施中同伴合作和师生互动研究的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：. 在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。. 在教学过程中努力做到生生对话、 师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。3. 通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。四、教学目标精品学习资料 可

4、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -根据任教班级学生的实际情况， 本节课我确定的教学目标是： 理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比， 回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识， 让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要； 同时通过本节课的学习， 使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、 合作交流的意识。五、教学重点与难点教学重点：指数

5、函数的概念、图象和性质。教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。六、教学过程：（一）创设情景、提出问题(约 3 分钟) 师：如果让 1 号同学准备 2 粒米， 2 号同学准备 4粒米， 3 号同学准备 6 粒米，4 号同学准备 8 粒米， 5 号同学准备 10 粒米，按这样的规律，51 号同学该准备多少米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51 号同学该准备102 粒米，大约 5克重。师：如果改成让 1 号同学准备 2 粒米， 2 号同学准备 4 粒米， 3 号同学准备8 粒米， 4 号同学准备 16 粒米， 5 号同学准备 32 粒米，按这样的规律，51号同学该准备多少

6、米？【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】师：大家能否估计一下， 51 号同学该准备的米有多重？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2 亿吨。师：1.2 亿吨是一个什么概念？根据2007 年 9 月 13 日美国农业部发布的最新数据显示， 20072008年度我国大米产量预计为1.27 亿吨。这就是说 51 号同学所需准备的大米相当于20072008 年度我国全年的大米产量！【设计意图： 用一个看似简单的实例， 为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】在以上两个问题中， 每位同学所需准备的米粒数

7、用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出 y=2x（xN）和xy2 （xN）【学情预设：学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的范围。 】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -（二）师生互动、探究新知1指数函数的定义师： 其实， 在本章开头的问题 2中， 也有一个与xy2 类似的关系式xy073.1（20, xNx）让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）： （约 3 分钟）xy2 （ xN）和xy073.1（20,xNx）这两个解

8、析式有什么共同特征？它们能否构成函数？是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？【设计意图 ：引导学生从具体问题、 实际问题中抽象出数学模型。 学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现xy2 ，xy073.1是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。师：如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成xay的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。让学生讨论并给出指数函数的定义。 （约 6 分钟）对于底数的分类，可将问题分解为：若0a会有什么问题？

9、（如2a，21x则在实数范围内相应的函数值不存在）若会有什么问题？（对于0 x，xa都无意义）若又会怎么样？（无论取何值 , 它总是 1, 对它没有研究的必要. ）师：为了避免上述各种情况的发生, 所以规定且. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。【学情预设： 若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求10aa，且；1a为什么不行？若学生只给出xay，教师可以引导学生通过类比一次函数（0,kbkxy） 、 反比例函数（0,kxky） 、 二次函数（0,2acbxaxy）中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件。 】【设计意图：对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研

10、究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；讨论出10aa，且，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如xy32，xy23，xy2 。【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】【设计意图：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】2指数函数性质提出两个问题（约3 分钟）目前研究函数一般可以包括哪些方面；【设计意图 ：让学生在

11、研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素 （对应法则、定义域、值域、 ）和函数的基本性质（单调性、奇偶性） 。 】研究函数（比如今天的指数函数） 可以怎么研究？用什么方法、 从什么角度研究？可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底数取一些数值） ；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质， 可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。【设计意图 ：让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式 (包括列表 )不同的角度对函数进行研究；对学生进行数学思想方法 （从一般

12、到特殊再到一般、 数形结合、分类讨论）的有机渗透。】分组活动，合作学习（约8 分钟）师： 好， 下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；每一大组再分为若干合作小组（建议4 人一小组） ；每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。【学情预设： 考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视， 对个别组可做适当的指导。】【设计意图 ：通过自主探索、 合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。 】交流、总结（约1012 分钟）师：下面我们开一

13、个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？（如过定点（0，1） ，xay与xay)1(的图象关于 y 轴对称）【学情预设：首先选

14、一从解析式的角度研究的小组上台汇报；对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；问其它小组有没不同的看法，上台补充， 让学生对底数进行分类， 引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界， 教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化。 】【设计意图：函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。让学生上台汇报研究成果， 让学生有种成就感， 同时还可训练其对数学问题的分析和表

15、达能力，培养其数学素养；对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。 】师： 从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0， 1） ，但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪xay的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。图象定义域R 值 域性过定点（ 0，1）0a1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

16、- 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -质非奇非偶在 R上是减函数在 R上是增函数（三）巩固训练、提升总结（约 8 分钟）1例：已知指数函数)1, 0()(aaaxfx且的图象经过点), 3(，求)3(),1(),0(fff的值。解：因为xaxf)(的图象经过点),3(，所以)3(f即3a，解得31a，于是3) 3(xf。所以1)3(,) 1(, 1)0(3fff。【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。【设计意图 ：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。】2 ： 在同一平面直角坐标系中画出xy3 和xy)31(的大致图象，并说出这两个函数的性质；求下列函数的定义域：22xy，xy1)21(。3 师：通过本节课的学习， 你对指数函数有什么认识？你有什么收获？【学情预设 ：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】【设计意图： 让学生再一次