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1、一元二次不等式的解法（第一课时）教学设计（2010-3-29）教 材: 人教 A版普通高中课程标准实验教科书数学必修5授课教师 :【教学目标】不等式是高中数学研究的一个重要课题，它与中学数学其它章节有着密切的联系，可以说是贯穿高中数学的始终，而一元二次不等式虽是最基础、最简单的不等式，但它却有着重要地位，纵向看，它是后面的分式不等式、含绝对值不等式等归化、转化的归宿；横向看，它与二次函数、一元二次方程密切相关，因此成为我们学习讨论和考察学生能力的一个热点。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与函数、数列、三角
2、函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。1、知识与能力 ：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系；培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。2、过程与方法：在经历由二次函数图象解不等式的过程，师生共同分析、交流，探究发现其中的一般规律，从而得到解决一元二次不等式的办法。3、情感态度与价值观 : 在通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主
3、义思想；同时激发学生学习数学的热情，培养勇于自主探索、合作学习、勇于创新的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。【教学重点】图象法解一元二次不等式。【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。【教学方法】启发式、合作探究教学法【教学手段】多媒体辅助教学【教学流程】复习旧知，自然引出研究问题类比、知识迁移，获得求解过程启发、总结，探究规律引导、形成结论应用规律，解决问题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -【教学过程】1 引导（情境引入）问题 1: 方程 2x-7=0 的
4、解集是 _。不等式 2x-70 的解集是 _。不等式 2x-70 的解集是 _。作出函数72xy的图象。注：（ 1）引导学生由图象得出结论（数形结合）（2）由学生填空（一边演示y0 部分图象）从上例的特殊情形，你能得出什么结论？注：教师引导下学生发现其结论，并由学生尝试叙述：一元一次方程ax+b=0 的根实质上就是直线 y=ax+b 与 x 轴交点的横坐标；一元一次不等式ax+b0( 或 ax+b0) 的解集实质上就是使得函数的图象在 x 轴上方还是下方时x 的取值范围。问题 2：问题 2：某种汽车在水泥路面上的刹车距离s( 单位： m)和汽车车速x（单位： km/h）有如下关系：218012
5、01xxs. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车钳的车速至少为多少？（精确到0.01km/h ）注：这个是生活中的实例，问题的解决有助于学生更注意安全，更注意生活中的数学。这个例子在教学中，我们暂时是作为引子来介绍，在这里我们并不解答，而是“抛个绣球”给学生，让他们在学习这个新课后自己来完成，这样，迎合了学生学习的兴趣，也符合新课程标准的学习方式。2 探究（合作探究）问题 3: 我们现在就结合上题的求解来试一试。（师生共同活动用“特殊点法” 而非课本上的 “列表描点”的方法作出1442xxy的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式
6、的解集。）【答】方程01442xx的解集为21xx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -不等式01442xx的解集为21xx【置疑】哪位同学还能写出01442xx的解法？（请一程度差的同学回答）【答】不等式01442xx的解集为。点拨： 我们通过二次函数1442xxy的图像，不仅求得了01442xx的解集，还求出了01442xx的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。问题 4: 求不等式0322xx的解集。（解法同上，但注意二次项系数此时为负。）【答 】 先
7、讲 不 等 式 变 为 ：0322xx， 对 应 方 程01442xx的083*4)2(2，解集为没有实数根。因此不等式0322xx的解集为。不等式0322xx的解集为。问题 5：求不等式0652xx的解集。【答】 方程0652xx的016*4)5(2，解集为 32|xxx或，因此不等式0652xx的解集为32|xxx或。3 交流发现前面的三个小题，基本涵盖了一般一元二次不等式解的各种情况，进一步启发引导学生将特殊、具体题目的结论做一般化总结，与学生一起就 0, 0, 0 的三种情况，总结二次不等式ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0 （ a0）的解的情况应该水到渠成。至此，学生可以感受
8、到，解二次不等式只须将二次项系数化为正数，求解二次方程 ax2+bx+c=0 的根。根据后的二次不等式的符号写出解集即可，必要时也可以结合图象写解集。这样我们就得到了一元二次不等式的一种解法( 可称为“三步曲”法) 。小结：一元二次不等式)0(02acbxax的一般解法是：当0 时，不等式的解就为根的左右两端， 大于大的， 小于小的； 当 0 时，不等式的解就为全体实数，但去掉根； 当 0 时，不等式的解为全体实数。而对于)0(02acbxax，只要前面这个理解，这个不等式的求解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 -
9、- - - - - - - -是顺理成章的，另外，对于二次项系数是负的，只要两边同时乘于-1 ，不等式变号，那么又返回到刚刚说的问题了，解法同上。这里我采用表格的形式给出相关的关系。acb42000二次函数)0(2acbxaxy的图像02cbxax的根abx22, 1abxx22102cbxax的解集02cbxax的解集【答】02cbxax的解集依次是.R;2R;21abxxxxxxxx但或02cbxax的解集依次是.;21xxxx它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数)0(2acbxaxy的图像。4 巩固（巩固深化）为了巩固和加深二次不等
10、式的一般解法，接下来及时组织学生进行课堂练习，完成课本80 页练习 1-(1)(3)(5)题。本环节请不同层次的学生在黑板上书写解题过程，之后师生共同纠正问题，规范解题过程的书写。并由学生自己归纳“解一元二次不等式的基本步骤”。5 拓宽（提高能力）思考： 1. 若不等式x2+2x+a0 的解集为R , 求实数 a 的取值范围 . 3.已知不等式ax2+bx+20 的解集为3121|xx , 求 a、b 的值 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -通过练习加深对知识的理解，提高技能。同
11、时使教师了解学生的掌握情况。设置思考题，使学生活跃思维，培养创新。同时为学有余力的学生提供学习空间。6 回 顾 总 结 1 . 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系： (1)方程的解对应于函数图象与x 轴的交点； (2)不等式的解对应于函数图象与x 轴上方（或下方）部分在x 轴上的点。 2 . 解一元二次不等式的基本步骤：（1）把二次项系数化为正数；（2）确定对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（3）根据对应的二次函数的大致图象以及不等号的方向，写出不等式的解集。注：我们把上述根据图象来解一元二次不等式的方法叫就图象法.根据图象来解题，是我们数学中一种很重要的思想，即：数形结合的思想
12、。另外，我们把解不等式的问题转化为与二次函数和一元二次方程有关的问题，这个也包含了一种数学思想，就是转化、化归的思想。【课时作业】P80 习题 3.2 A 组 1、4【板书设计】3.2 一元二次不等式解法（一）1一元二次方程， 一元一次不等式及一元一次函数间关系（1）（2）（注：这个是本节课最重要的结论之一，而这个结论是在问题结束后，师生合作， 探究，发现其中的一般规律。 ）2解一元二次不等式的基本步骤：（1）（2）（3）（注：这个是本节课最重要的结论之二，体现合作 探究式的教学。 ）3问题 1 问题 2 问题 3 问题 4 问题 5 4课堂练习（学生演板）5.作业布置P80 习题 3.2 A
13、 组 1、 4一元二次不等式的解法（第一课时）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -教案说明教材: 人教 A版普通高中课程标准实验教科书数学必修5数学课程标准明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生自主、全面、可持续的发展，是学生学习数学的重要方式。为使教学真正做到以学生为本，我对教材P76P79的知识进行了适当地重组和加工，力求给学生提供研究、探讨的时间与空间，让学生充分经历“做数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中获取，在探究
14、中发展。1、本节课教学设计力图体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进的教学原则，通过对原有知识的复习，引导学生类比探索新的知识，激发学生的求知欲望，调动学生的积极性。2、本节课采用在教师引导下启发学生探索发现，体会解题过程中形结合思想方法，使之获得内心感受。3、本节课的重点是利用图象解一元二次不等式，让学生明确一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的联系。在思维训练方面，注重从特殊到一般，从具体到抽象思维的培养。归纳总结可以训练学生的收敛思维，有助于完善学生的思维结构。4、本节课的例题及课堂练习是课本上的习题，其目的在于落实基础，提高运算能力。请各位专家多提宝贵意见，谢谢您的指导！精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
