【总结】高中理科数学空间向量方法总结

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1、优秀学习资料欢迎下载平面法向量与立体几何引言 ：平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。 开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12 分的立体几何题将会变得更加轻松。2、平面法向量的求法方法一 ( 内积法 ) : 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量( ,

2、,1)nx y 或( ,1, )nxz，或(1, , )ny z ，在平面内任找两个不共线的向量,a b。由n，得0n a且0n b，由此得到关于, x y的方程组，解此方程组即可得到n。二、平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角：如图4-1，设n是平面的法向量， AB是平面的一条斜线，A，则 AB与平面所成的角为：41,arccos.22| |sin|cos,| |41,arccos22| |n ABn ABn ABnABn ABnABn ABn ABnAB如图中:如图中 :例 3、 在例 2 中，求直线1AA与平面1ACD所成的角。解析：由例 2 知，(1,1,1)n，1(0,0,

3、1)AA，1113sin33AA nAAn， 即3a r c s i n3(2)、求面面角 :设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：|arccos,nmnmnm（图 5-1）; |arccos,nmnmnm(图 5-2)m图 5-1 nm图 5-2 n图 4-1 B nA C A B 图 4-2 C n精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载A B O n 图 7 两个平面的法向量方向选取合适, 可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图 5-1

4、 中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图5-2 中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。例 4、 在例 2 中，求二面角1DACD的大小。解：由例2 知，平面1ACD的法向量是1(1,1,1)n，平面DAC的法向量是2(0,0,1)n，设二面角1DACD的大小为，则1212(1,1,1) (0,0,1)3cos33n nnn，得3arccos3。2、 求空间距离（1） 、异面直线之间距离: 方法指导 ：如图 6, 作

5、直线a、b 的方向向量a、b，求 a、b 的法向量n，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量；在直线a、b 上各取一点A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b 间的距离为|nnABd, 其中bBaAbnan,（2） 、点到平面的距离: 方法指导 ：如图 7,若点 B 为平面 外一点，点A 为平面 内任一点，平面的法向量为n，则点P 到平面 的距离公式为：0cosAB nAB ndABABAB nABnn例 5、 在例 2 中，求点1A到平面1ACD的距离。解析：由例2 的解答知，平面1ACD的单位法向量0333(,)333n，图 6 n a b A B 精品学习资料 可选

6、择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载又1(0,0,1)AA，设点1A到平面1ACD的距离为d，则103333(0,0,1) (,)3333dAAn。所以，点1A到平面1ACD的距离为33。（3） 、直线与平面间的距离: 方法指导 ：如图 8,直线a与平面之间的距离：|AB ndn，其中aBA,。n是平面的法向量（4） 、平面与平面间的距离: 方法指导 ：如图 9,两平行平面,之间的距离：|nnABd，其中,AB。n是平面、的法向量。3、 证明（1） 、证明线面垂直：在图10 中,m

7、向是平面的法向量，a是直线 a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（am） 。（2） 、证明线面平行：在图11 中,m向是平面的法向量，a是直线 a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0am） 。（3） 、证明面面垂直：在图12 中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0nm）（4） 、证明面面平行：在图13 中, m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（nm） 。三、利用法向量解20XX年高考立体几何试题例 6、 （湖南理第17 题）如图 14 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD60

8、， E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面 PAB; （）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小. 解：如图所示， 以 A 为原点， 建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（ 0，0，0） ，B （1，图 13 mn图 11 ma a图 10 a ma图 9 A B nA a B n图 8 图 12 mn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载0，0） ，33(,0),22C13(,0),22DP（0，0，2

9、）,3(1,0).2E（）因为3(0,0)2BE平面 PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n，所以0BEn和共线 .从而 BE平面 P AB. 又因为BE平面 PBE，故平面PBE平面 P AB. ( ) 易知3(1,0, 2),(0,02PBBE， ），13(0,0,2),(,0)22PAAD设1111(,)nx y z是平面PBE的一个法向量，则由110,0n PBn BE得：111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2.(2,0,1 ).yxzn故可取设2222(,)nxyz是平面PAD的一个法向量，则由220,0nPAnAD得：2222220020,1300.22x

10、yzxyz所以2220,3.zxy故可取2( 3, 1,0).n于是，1212122 315cos,.552n nn nnn故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.5点评 ：本题采用常规方法（即综合法）求这个二面角的平面角比较困难，而用向量法只要计算不出问题，一般都能解决问题例 7、 （全国卷理科第19 题)如图 14，正四棱柱1111ABCDA B C D中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31 （）证明：1AC平面BED；（）求二面角1ADEB的大小解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，A C D E A1 B1 C1 D1 y z 精品学习资料

11、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载建立如图所示直角坐标系Dxyz依题设，1(2 2 0)(0 2 0)(0 2 1)(2 0 4)BCEA，(0 2 1)(2 2 0)DEDB，11( 2 24)(2 0 4)ACDA， ，（）因为10AC DB，10AC DE，故1ACBD，1ACDE又DBDED，所以1AC平面DBE（）设向量()xyz， ，n是平面1DA E的法向量，则DEn，1DAn故20yz，240 xz令1y，则2z，4x，(4 12)， ，n1AC，n等于二面角

12、1ADEB的平面角，11114cos42ACACAC，nnn所以二面角1ADEB的大小为14arccos42点评 ：本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算，同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。例 9（安徽卷理第18 题）如图16，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1 的菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD平面； （）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD 的距离。解：作APCD于点 P,如图 16,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系22222(0,0,0

13、),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN, (1)22222(1,1),(0, 2),(,2)44222MNOPOD设平面 OCD 的法向量为( , )nx y z,则0,0n OPn OD即2202222022yzxyz取2z,解得(0, 4,2)nzMO精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载22(1,1) (0, 4,2)044MN nMNOCD平面(2)设AB与MD所成的角为, 22(1,0

14、,0),(, 1)22ABMD1co s,23AB MDABMD,AB与MD所成角的大小为3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为d,则d为OB在向量(0, 4,2)n上的投影的绝对值, 由(1,0, 2)OB, 得23OB ndn.所以点 B 到平面 OCD 的距离为23点评 ：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，异面直线所成的角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何的能力。四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系

15、)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题） （2） 、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3） 、把向量的运算结果“ 翻译 ” 成相应的几何意义。 （回到图形问题）五、总结：以上介绍了平面的法向量及其二种求法，我们教材上只介绍了用数量积（内积法）求法向量，而并没有介绍用向量积（外积法）求法向量，希望大家注意灵活应用，我们以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深

16、入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。空间向量与立体几何一 利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦： 1 平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接： 1 空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。例 1： （2010安徽高考理科18）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，2ABEF，90BFC，BFFC，H为BC的中点。 (1)求证：FH平面EDB；(2) 求证：AC平面EDB；(3) 求二面角BDEC的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体