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1、优秀学习资料欢迎下载平面法向量与立体几何引言 :平面的法向量在课本上有定义,考试大纲中有“理解”要求,但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用,其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠,是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。 开发平面法向量的解题功能,可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题,使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12 分的立体几何题将会变得更加轻松。2、平面法向量的求法方法一 ( 内积法 ) : 在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量( ,
2、,1)nx y 或( ,1, )nxz,或(1, , )ny z ,在平面内任找两个不共线的向量,a b。由n,得0n a且0n b,由此得到关于, x y的方程组,解此方程组即可得到n。二、平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角:如图4-1,设n是平面的法向量, AB是平面的一条斜线,A,则 AB与平面所成的角为:41,arccos.22| |sin|cos,| |41,arccos22| |n ABn ABn ABnABn ABnABn ABn ABnAB如图中:如图中 :例 3、 在例 2 中,求直线1AA与平面1ACD所成的角。解析:由例 2 知,(1,1,1)n,1(0,0,
3、1)AA,1113sin33AA nAAn, 即3a r c s i n3(2)、求面面角 :设向量m,n分别是平面、的法向量,则二面角l的平面角为:|arccos,nmnmnm(图 5-1); |arccos,nmnmnm(图 5-2)m图 5-1 nm图 5-2 n图 4-1 B nA C A B 图 4-2 C n精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载A B O n 图 7 两个平面的法向量方向选取合适, 可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图 5-1
4、 中,m的方向对平面而言向外,n的方向对平面而言向内;在图5-2 中,m的方向对平面而言向内,n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。例 4、 在例 2 中,求二面角1DACD的大小。解:由例2 知,平面1ACD的法向量是1(1,1,1)n,平面DAC的法向量是2(0,0,1)n,设二面角1DACD的大小为,则1212(1,1,1) (0,0,1)3cos33n nnn,得3arccos3。2、 求空间距离(1) 、异面直线之间距离: 方法指导 :如图 6, 作
5、直线a、b 的方向向量a、b,求 a、b 的法向量n,即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量;在直线a、b 上各取一点A、B,作向量AB;求向量AB在n上的射影d,则异面直线a、b 间的距离为|nnABd, 其中bBaAbnan,(2) 、点到平面的距离: 方法指导 :如图 7,若点 B 为平面 外一点,点A 为平面 内任一点,平面的法向量为n,则点P 到平面 的距离公式为:0cosAB nAB ndABABAB nABnn例 5、 在例 2 中,求点1A到平面1ACD的距离。解析:由例2 的解答知,平面1ACD的单位法向量0333(,)333n,图 6 n a b A B 精品学习资料 可选
6、择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载又1(0,0,1)AA,设点1A到平面1ACD的距离为d,则103333(0,0,1) (,)3333dAAn。所以,点1A到平面1ACD的距离为33。(3) 、直线与平面间的距离: 方法指导 :如图 8,直线a与平面之间的距离:|AB ndn,其中aBA,。n是平面的法向量(4) 、平面与平面间的距离: 方法指导 :如图 9,两平行平面,之间的距离:|nnABd,其中,AB。n是平面、的法向量。3、 证明(1) 、证明线面垂直:在图10 中,m
7、向是平面的法向量,a是直线 a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线(am) 。(2) 、证明线面平行:在图11 中,m向是平面的法向量,a是直线 a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直(0am) 。(3) 、证明面面垂直:在图12 中,m是平面的法向量,n是平面的法向量,证明两平面的法向量垂直(0nm)(4) 、证明面面平行:在图13 中, m向是平面的法向量,n是平面的法向量,证明两平面的法向量共线(nm) 。三、利用法向量解20XX年高考立体几何试题例 6、 (湖南理第17 题)如图 14 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, BCD60
8、, E 是 CD 的中点,PA底面 ABCD,PA2. ()证明:平面PBE平面 PAB; ()求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小. 解:如图所示, 以 A 为原点, 建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A( 0,0,0) ,B (1,图 13 mn图 11 ma a图 10 a ma图 9 A B nA a B n图 8 图 12 mn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载0,0) ,33(,0),22C13(,0),22DP(0,0,2
9、),3(1,0).2E()因为3(0,0)2BE平面 PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n,所以0BEn和共线 .从而 BE平面 P AB. 又因为BE平面 PBE,故平面PBE平面 P AB. ( ) 易知3(1,0, 2),(0,02PBBE, ),13(0,0,2),(,0)22PAAD设1111(,)nx y z是平面PBE的一个法向量,则由110,0n PBn BE得:111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2.(2,0,1 ).yxzn故可取设2222(,)nxyz是平面PAD的一个法向量,则由220,0nPAnAD得:2222220020,1300.22x
10、yzxyz所以2220,3.zxy故可取2( 3, 1,0).n于是,1212122 315cos,.552n nn nnn故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是15arccos.5点评 :本题采用常规方法(即综合法)求这个二面角的平面角比较困难,而用向量法只要计算不出问题,一般都能解决问题例 7、 (全国卷理科第19 题)如图 14,正四棱柱1111ABCDA B C D中,124AAAB,点E在1CC上且ECEC31 ()证明:1AC平面BED;()求二面角1ADEB的大小解:以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,A C D E A1 B1 C1 D1 y z 精品学习资料
11、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载建立如图所示直角坐标系Dxyz依题设,1(2 2 0)(0 2 0)(0 2 1)(2 0 4)BCEA,(0 2 1)(2 2 0)DEDB,11( 2 24)(2 0 4)ACDA, ,()因为10AC DB,10AC DE,故1ACBD,1ACDE又DBDED,所以1AC平面DBE()设向量()xyz, ,n是平面1DA E的法向量,则DEn,1DAn故20yz,240 xz令1y,则2z,4x,(4 12), ,n1AC,n等于二面角
12、1ADEB的平面角,11114cos42ACACAC,nnn所以二面角1ADEB的大小为14arccos42点评 :本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算,同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。例 9(安徽卷理第18 题)如图16,在四棱锥OABCD中,底面ABCD四边长为1 的菱形,4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点,N为BC的中点()证明:直线MNOCD平面; ()求异面直线AB 与 MD 所成角的大小;()求点B 到平面 OCD 的距离。解:作APCD于点 P,如图 16,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系22222(0,0,0
13、),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN, (1)22222(1,1),(0, 2),(,2)44222MNOPOD设平面 OCD 的法向量为( , )nx y z,则0,0n OPn OD即2202222022yzxyz取2z,解得(0, 4,2)nzMO精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载22(1,1) (0, 4,2)044MN nMNOCD平面(2)设AB与MD所成的角为, 22(1,0
14、,0),(, 1)22ABMD1co s,23AB MDABMD,AB与MD所成角的大小为3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为d,则d为OB在向量(0, 4,2)n上的投影的绝对值, 由(1,0, 2)OB, 得23OB ndn.所以点 B 到平面 OCD 的距离为23点评 :本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,异面直线所成的角及点到平面的距离等知识,考查空间想象能力和思维能力,利用综合法或向量法解决立体几何的能力。四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右手系
15、),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为向量问题) (2) 、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3) 、把向量的运算结果“ 翻译 ” 成相应的几何意义。 (回到图形问题)五、总结:以上介绍了平面的法向量及其二种求法,我们教材上只介绍了用数量积(内积法)求法向量,而并没有介绍用向量积(外积法)求法向量,希望大家注意灵活应用,我们以此为工具,解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题,方法简便,易于操作,可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦,又可弥补空间想像能力的不足,发挥代数运算的长处。深
16、入开发它的解题功能,平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。空间向量与立体几何一 利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦: 1 平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系,也是每年的必考内容,利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2题型灵活多样,难度为中档题,且常考常新。考向链接: 1 空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容,一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路:一是利用相应的判定定理和性质定理去解决;二是利用空间向量来论证。例 1: (2010安徽高考理科18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,2ABEF,90BFC,BFFC,H为BC的中点。 (1)求证:FH平面EDB;(2) 求证:AC平面EDB;(3) 求二面角BDEC的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体