《【总结】高中数学选修4—4知识点总结,推荐文档》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【总结】高中数学选修4—4知识点总结,推荐文档（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、坐标系与参数方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换(0):(0)xxyygg的作用下, 点 P(x,y) 对应到点(,)P x y, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点O, 叫做极点 , 自极点O引一条射线Ox, 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位, 一个角度单位( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系. 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐
2、标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边, 射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角 , 记为. 有序数对(, )叫做点 M的极坐标, 记作(, )M. 一般地 , 不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数. 特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)( R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标( , )表示 ;同时 , 极坐标
3、( , )表示的点也是唯一确定的. 3. 极坐标和直角坐标的互化精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 : (2) 互 化 公 式 : 设M是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是( ,)x y,
4、极 坐 标 是(, )(0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M直角坐标( , )x y极坐标(, )互化公式cossinxy222tan(0)xyyxx在一般情况下,由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角. 4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径为r的圆(02 )r圆心为( ,0)r, 半径为r的圆2 cos ()22r圆 心 为( ,)2r, 半径为r的圆2 sin(0)r精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d
5、f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -过极点 , 倾斜角为的直线(1)()()RR或(2)(0)(0)和过点( ,0)a, 与极轴垂直的直线cos()22a过 点( ,)2a, 与 极轴平行的直线sin(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(, ),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程,点(,)44M可 以 表 示 为5(,
6、2 )(,2 ),444444或或(-)等多种形式, 其中 , 只有(,)44的极坐标满足方程. 二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标, x y都是某个变数t的函数( )( )xf tyg t, 并且对于t的每一个允许值, 由方程组所确定的点( , )M x y都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数, x y的变数t叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而
7、从精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数, x y中的一个与参数t的关系 , 例如( )xf t, 把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数的关系( )yg t, 那么( )( )xf tyg t就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中,必须使, x y的取值范围保持一致. 注： 普通方程化
8、为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同， 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设( , )M x y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为( , )a b，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。4椭圆的参数方程以坐标原点O为中心， 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyab
9、ab其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角； 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0 ，2） 。注： 椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内） ，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02时，相应地也有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -精
10、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中30,2),.22且焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是22221(0,0),yxabab其 参 数 方 程 为cot(0,2 ).cscxbeya为参数，其中且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以 坐 标 原 点 为 顶 点 ， 开
11、口 向 右 的 抛 物 线22(0)ypx p的 参 数 方 程 为22().2xpttypt为参数7直线的参数方程经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点( , )M x y为终点的有向线段0M Muuuuu u r的数量， 当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
