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1、名师总结精品知识点mll立体几何知识点整理（文科）一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交Al符号表示：3. 线在面内l符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll/方法二：用面面平行实现。mlml/方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml /。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且 l、 m 不重合，则ml /。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。/llmml方法二：用面面平行实现。/ll方法三：用平面法向量实现。若n为 平 面的 一 个 法 向 量 ，ln且l,则/l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/, ,/且相交且相交m
2、lmlmmll方法二：用线面平行实现。/,/且相交mlmlmlnlmllmmllm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三夹
3、角问题。(一 )异面直线所成的角：(1) 范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二 )线面角(1)定义：直线l 上任取一点P（交点除外） ，作PO于 O,连结 AO ， 则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，PAO(图中)为直线 l 与面所成的角。AOP(2)范围：90,0ABCllmlmlcbaABCnAOPlAOP精品学习资料 可选择p d f - - - - -
4、 - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点当0时，l或/l当90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。nmlP(2)范围：180,0(3)求法：方法一：定义法。步骤 1： 作出二面角的平面角(三垂线定理 )， 并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1： 如图，若平面 POA 同时垂直于平面和
5、，则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。AOP方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2步骤一：计算121212cosn nnnnn步骤二：判断与12n n的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。OAP步骤 1： 过点 P 作 PO于 O， 线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段PO 的长度。 (直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图， m 和 n 为两条异面直线，n且/m， 则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线
6、m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点dcbamDCBAmn如图， AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段，/ mm，则异面直线m 和 n 之间的距离为：cos2222abbacd五空间向量(一)空间向量基本定理若向量cba,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对zyx、，使得czbyaxp。(二) 三点共线，四点共面问题1. A，B，C 三点共线OAxOByOC
7、，且1xy当21yx时， A 是线段 BC 的A， B，C 三点共线ACAB2. A，B，C， D 四点共面OAxOByOCzOD，且1xyz当13xyz时， A是 BCD的A， B，C，D 四点共面ADyACxAB(三)空间向量的坐标运算1. 已知空间中A、B 两点的坐标分别为：111(,)A xy z，222(,)B xyz则：AB ;BAd,AB2. 若空间中的向量111(,)ax y z，),(222zyxb则ababA B C D 1A1C1B精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - -
8、- -名师总结精品知识点a bcosa b六常见几何体的特征及运算(一)长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、 、，则222coscoscos+若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、，则222coscoscos+3. 若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体) (五)棱锥的性质： 平行于底面的的截面与底
9、面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积：棱柱V棱锥V(七)球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心 O 到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4. 球的表面积公式：体积公式：高考题典例考点 1 点到平面的距离精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点例 1
10、 如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2， D 为1CC中点（）求证：1AB 平面1A BD； （）求二面角1AA DB的大小；（）求点C到平面1A BD的距离解答过程 （）取 BC 中点 O，连结AOABC为正三角形，AOBC正三棱柱111ABCA BC中，平面ABC 平面11BCC B，AO平面11BCC B连结1B O，在正方形11BB C C中，OD，分别 为1B CC C，的中点，1B OBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABA B，1AB 平面1ABD（）设1AB与1AB交于点 G ，在平面1ABD中，作1GFAD于 F ， 连 结AF，由（）得1AB 平面1
11、A BD1AFAD，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AA D中，由等面积法可求得4 55AF，又1122AGAB，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AA DB的大小为10arcsin4（）1ABD中，11152 26A BDBDA DA BS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点 C 到平面1ABD的距离为d由11ABCDCA BDVV，得111333BCDA BDSSd，1322BCDA BDSdS点 C 到平面1A BD的距离为22考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面.D
12、E、分别为ABBC、的中点，求A B C D 1A1C1BO F 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点CD 与 SE 间的距离 . 解答过程 ： 如图所示，取BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF ，EF为BCD的中位线，EFCDCD ,面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离 .又线面之间的距离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F 分别是 AB、BC 、BD 的中点，2,2,621,62SCDFCD
13、EFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在 RtSCE中，3222CESCSE在 RtSCF中，30224422CFSCSF又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331h，解得332h故 CD 与 SE 间的距离为332. 考点 3 直线到平面的距离例 3 如图，在棱长为2 的正方体1AC中， G 是1AA的中点，求BD 到平面11DGB的距离 . 思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程 ：解析一BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点 O 平面11DGB的距离 , 1111
14、CADB，AADB111，11DB平面11ACCA, 又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1, 作GOOH1于 H，则有OH平面11DGB，即 OH 是 O 点到平面11DGB的距离 . 在OGO1中，222212111AOOOSOGO. B A C D O G H 1A1C1D1B1O精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点又362,23212111OHOHGOOHSOGO. 即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 解析二BD
15、平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B 平面11DGB的距离 . 设点 B 到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGBB的高，则，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV34222213111GBBDV, ,36264h即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 小结 ：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点， 转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角例 4 如图，在 RtAOB中，6OAB，斜边
16、4ABRtAOC可以通过 RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小解答过程 ： （I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD平面COD平面AOB（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO，CDE 是异面直线AO与CD所成的角在 RtCOE中，2COBO，112OEBO，225CECOOEOCADBEOCADBxyz精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点又132DEAO在 RtCDE中，515tan33CECDEDE异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几
