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1、第2课时基本不等式的应用1.掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最值问题及实际问题.1.基本不等式与最值设x，y为正实数.(1)若x+y=s(定值)，则当_时，xy有最大值_.(2)若xy=p(定值)，则当_时，x+y有最小值_.2.利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)x，y必须是_.(2)求积xy的最大值时，应看和x+y是否为_；求和x+y的最小值时，应看积xy是否为_.正数定值定值1.已知x-2，则函数y= 的最大值为( )【解析】选C.因为x-2，所以x+20，y0)，当且仅当x=y时，等号成立”，思考下列问题：(1)若x+y=xy，如何求x+y
2、和xy的范围？提示：因为 所以xy 又x+y=xy，所以x+y 整理得 (x+y)2(x+y)0，从而可求得x+y的范围.因为xy x+y=xy，所以xy 整理得(xy)24xy0，可求得xy的范围.(2)常用的构造定值条件的变换方法有哪些？提示：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用基本不等式.探究2：利用基本不等式解决实际问题中的最值，应注意哪些问题？提示：解实际问题要注意以下几点：设变量时一般要把求最大或最小值的变量定义为函数；根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【探究总结】利
3、用基本不等式求函数最值的三个条件(1)正：函数的解析式中，各项均为正数.(2)定：函数解析式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值.(3)相等：函数的解析式中，含变量的各项均相等，取得最值时必须验证等号是否成立.简记为：一正二定三相等.【拓展延伸】求条件最值的方法求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时：通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键；必须指出等号成立的条件.类型一利用基本不等式求最值1.(20XX临沂高二检测)若x1，则 有()A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-12.(20XX孝感高一检测)若正数x，y满足 则
4、3x+4y的最小值是( )3.已知 求函数 的最大值.【解题指南】1.对函数 作适当的调整和转化，使其满足能够利用基本不等式的条件.2.由 转化为 然后与3x+4y相乘，利用基本不等式求解.3.将 转化为其中两部分的积等于常数求解.【自主解答】1.选D.因为x1，所以x-10，所以 故选D.2.选C.由已知得所以 (x=2y时等号成立).3.因为 所以4x-50.所以y-2+4=2，当且仅当 即x=1或x= (舍)时，等号成立，故当x=1时，ymax=2.【延伸探究】若把题1中的条件“x1”.其他不变，则结论如何？【解析】选A.因为x1，所以x-10，所以故选A.【规律总结】利用基本不等式求最
5、值的方法及技巧(1)若“一正二定三相等”中的条件满足时，直接用公式求解.(2)若条件不满足时，则需对条件作适当调整和转化，使其满足上述三个条件方可利用基本不等式.(3)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用不等式.类型二利用基本不等式求参数与代数式的范围1.(20XX晋江高一检测)当x-1时，不等式x+ -1a恒成立，则实数a的最大值是.2.已知x0，y0，且 =1，求x+y的最小值.【解题指南】1.只需x+ -1的最小值大于等于a即可.故转化为求x+ -1的最小值.2.要求x+y的最小值，根据基本不等式应构建两个数(式)的积为定值，因而需要对条件进行变形，可利用
6、“1”的代换，亦可利用已知条件消元.【自主解答】1.当x-1时，不等式x+ -1a恒成立，因此只需h(x)=x+ -1的最小值大于等于a成立即可；x+ -1=(x+1)+ -2 -2=0，所以h(x)min=0，所以a0.答案：02.方法一：(1的代换)因为 =1，所以x+y=(x+y)因为x0，y0，所以当且仅当 即y=3x 时，取“=”.又 =1，解可得x=4，y=12.所以当x=4，y=12时，x+y的最小值是16.方法二：(消元法)由 =1，得x=因为x0，y0，所以y9.所以=(y-9)+ +10.因为y9，所以y-90，所以(y-9)+当且仅当y-9= 即y=12时，取“=”，此时
7、x=4，所以当x=4，y=12时，x+y的最小值是16.【规律总结】运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型及处理技巧(1)若已知等式，则要用基本不等式进行缩放，得出不等式，进而解出该不等式.(2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值，而求函数式的最值时，可能用到基本不等式.【变式训练】若abc，且 恒成立，求m的取值范围.【解题指南】先将 变形，再利用基本不等式求出m的取值范围.【解析】由abc，得ab0，bc0，ac0，因此原不等式等价于m 要使原不等式恒成立，只需 的最小值不小于m即可，因为 当且仅当 即2b=a+c时，等号成立.所以m4.类型三利用基本不等式解
8、实际应用题1.某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n层楼时，环境不满意度为 ，则此人应选()A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼2.某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f(x)的表达式(总开发费
9、用=总建筑费用+购地费用).(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？【解题指南】1.建立关于n的函数，讨论其最小值.2.(1)根据每层建筑面积及每层每平方米的建筑费用的关系，得出总建筑费用，从而得出y=f(x)的表达式.(2)根据(1)中y=f(x)的表达式，把函数的解析式变换成两个数(式子)的积为定值的形式，然后利用基本不等式求解.【自主解答】1.选C.只需求不满意度n+ 的最小值.由均值不等式得n+ 4 ，当且仅当n= ，即n=2 3时，n+ 取得最小值.2.(1)由已知，写字楼最下层的总建筑费用为40002000=8000000(元)=800(万元)，从第二
10、层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多1002000=200000(元)=20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，以20为公差的等差数列，所以函数表达式为f(x)=800 x+ 20+9000=10 x2+790 x+9000(xN*).(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)= 10000= 50(2 +79)=6950(元)，当且仅当x= ，即x=30时等号成立，故该写字楼应建为30层.【规律总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大或最小值问题.(3
11、)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)写出正确答案.【变式训练】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比 =x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式.(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【解析】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x=4 000，得则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a +1
12、60=4 000+(8x+20) +160= +4 160(x1).(2) =5 760，当且仅当 即x=2.5时，等号成立，此时a=40，ax=100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.【拓展类型】基本不等式的综合应用1.已知等比数列a1，a2，a3的和为定值m(m0)，且其公比q0，若t=a1a2a3，则t的取值范围是()A.(0，m3B.-m3，0)C.-m3，m3D.-m3，0)(0，m32.在ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，求B的取值范围.【解题指南】1.根据题意，得出a2关于q的关系式，利用基本不等
13、式求出a2的范围.从而得出t的取值范围.2.由a，b，c成等差数列，得出b= ，利用余弦定理求出cosB的范围，从而得出B的取值范围.【解析】1.选B.因为m=a1+a2+a3= 所以a2=因为q0，所以m 0，即ma20，故t=a1a2a3=a23m3，0)，故选B.2.因为a，b，c成等差数列，所以b= 所以cos B= 当且仅当3a2=3c2，即a=c时，等号成立.又因为y=cos x在(0，)上是减函数，所以0B【规律总结】利用基本不等式解决有关问题的方法对于基本不等式在有关问题中的应用，一方面根据具体问题找到有关参数的关系式，另一方面结合问题，对条件进行变形调整，使其转化为代数式的两部分的积或和为定值的形式，进而利用基本不等式求解.
