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1、第 1 讲比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：（1）比较这几个分数的大小：52、73、2310、2912、3715（2）试比较77755和7777555，那个分数大？如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例 1：已知 A321=B43= C109= D54=E511(ABCDE 都不等于 0)，将 A、 、B、C、D、E 按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成 A321=B311=C109=D54=E65。下面我们可以运用倒
2、数的知识来解决这一问题。首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。那么， A 就是321的倒数，即53；同理，B 应是43，C 是911，D 是411，E 是511。这样，我们很容易就能比较出这五个数的大小。因为4115119114353, 所以 DECBA. 随堂练习一：如果 a=b521=65c=d54(a、b、c、d 均不等于 0)，a、b、c、d 四个数中，谁最大 ?谁最小？例 2：将下列分数从小到大排列起来：52、73、2310、2912、3715。分析与解比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，
3、分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为 2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为：15060、14060、13860、14560、14860。由 150148 145 140 138，可以得到：1506014860145601406013860，即5237152912732310。方法点评如果几个分数的公分母比较大时， 采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1
4、 页，共 40 页 - - - - - - - - -随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。175、196、4615、3310、3730例 3：已知 A=55555555555553，B=666663666661。试比较 A 与 B 的大小。分析与解这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点， 先比较这两个分数与1 的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。因为比 A 比 1 少55555552，B 比 1 少6
5、666632，而555555526666632，所以 AB。方法点评如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法， 即先比较这两个分数与 1 的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三：试比较下列两个分数的大小。445443和559557例 4：比较77755和7777555，那个分数大？分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14 倍多 7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？77755的倒数是55714，77
6、77555的倒数是555714，因为55714555714，所以777557777555。方法点评从本题可以看出， 如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四：试比较19219和17217的大小。例 5：试比较下面两个分数的大小。10061207和20062207分析与解观察这两个分数， 你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母 2006=1006+1000 ，即第一个精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共
7、 40 页 - - - - - - - - -分数10061207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数20062207。方法点评当 ab 时，bakbka,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以1006120720062207。同理，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五：比较2329与123129的大小拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。1918、3736、3231、4847、16152、比较下面两个分数的大小。999499和10015013、比较332221和665443的大小。4、比较1234
8、56789987654321与20091234567892009654321987的大小。5、比较83837171与838383717171的大小。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 40 页 - - - - - - - - -第 2 讲速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例 1：计算下面各题。（1）171649 （2）2003200420032003分析与解同学们都会计算带分数
9、除法， 但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1）17164分成一个9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003 后，计算就很简便了。（1）171649 （2）2003200420032003= （63+1711） 9 = （20032003） （2004200320032003）=63 9 + 17119 =1（2003 2003+200420032003）=7+911718=1200411=1727=20052004方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又
10、费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算： （1）555655（2）167168167167例 2：计算： （1+61514131）（1+5141）（ 1+5141）（61514131）分析与解这道题虽然算式很长， 但仔细分析其中的数据， 可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。设61514131=A 1+5141=B，原来的算式可以转化成：（1+A）B-BA =B+AB-AB =B 所以本题的结果为： 1+5141=2091精品学习资料 可选择p d
11、f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 40 页 - - - - - - - - -方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。随堂练习二：计算： （1+978573）（52+978573）-（1+52+978573）（978573）例 3：计算.313233323121222111501502.50485049505050495048.503502501分析与解这组分数的特点是：分母为1 的分数有 1 个，分母为 2 的分数有 3 个，分母为 3 的分数有 5 个且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5这是一个扥差数列，可以直接利用等
12、差数列求和公式来计算，即（首项+末项）项数 2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50 =（1+50）502 =1275 方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：.313233323121222111+201.202.201920202019.203202201例 4：计算： （1） （1321111213）（135115）（2）032003200320200320032003022002200220200220022002分析与解（1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：13
13、21111213=1314511145=145(131111),135115=5(131111). 所以，原式=（1314511145）（135115）=145(131111)5(131111)=1455=29 （2）我们注意到， 这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和 2003 组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为 2002=20021 20022002=2002 10001 200220022002=2002 1000110001 所以 2002+20022002+200220022002=2002 （1+10001+100010
14、001 ）同理 2003+20032003+200320032003=2003 （1+10001+100010001 ）原式=)100010001100011 (2003)100010001100011(2002=20032002精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 40 页 - - - - - - - - -随堂练习四：计算： （1） （91111119）（94114）（2）2323232323232323232317171717171717171717例 5：计算20191.431321211分析与解这道题的加数很多， 如果
15、采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：211=1-21，321=3121，.20191=20119120191.431321211=1-21+3121+201191=1-201=2019方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。当 ab 时,ba1= (ba11) ab1随堂练习五：计算100991.321211拓展训练1.、计算（ 1+5141）（5141+61）- （1+5141+61）（5141）2、计算（343
16、98.343634343432） -（68699.68656863）3、计算2323232323232323232323232323231919191919191919191919191919194、计算161311310110717414115、计算（ 1+21） （1-21）（ 1+31）（ 1-31）（ 1+501）（ 1501-）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 40 页 - - - - - - - - -第 3 讲比的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍” 。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例 1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是12, 另一只杯子中盐与比是 15 。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了， 因为两只杯子相同， 所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占211，水占212；第二只杯子中的盐占511，水占515。两只
