课时素养评价 十七 复数的加、减运算及其几何意义 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.若z-3+5i=8-2i，则z等于 ( )A.8-7i B.5-3i C.11-7i D.8+7i【解析】选C.z=8-2i-(-3+5i)=11-7i.【加练固】 实数x，y满足z1=y+xi，z2=yi-x，且z1-z2=2，则xy的值是 ( )A.1 B.2 C.-2 D.-1【解析】选A.z1-z2=y+xi-(yi-x)=x+y+(x-y)i=2，所以x+y=2,x-y=0,所以x=y=1.所以xy=1.2.(2019南通高二检测)设z1=2+bi，z2=a+i，a，b∈R，当z1+z2=0时，复数a+bi为 ( )A.1+i B.2+iC.3 D.-2-i【解析】选D.因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i，且z1+z2=0，所以2+a=0,b+1=0,解得a=-2,b=-1,所以a+bi=-2-i.3.(2019怀化高二检测)设z1=3-4i，z2=-2+3i，则z1-z2在复平面内对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.z1-z2=(3-4i)-(-2+3i)=5-7i，在复平面内z1-z2对应点的坐标为(5，-7)，位于第四象限.4.(2019鄂州高二检测)复数z=x+yi(x，y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|，则2x+4y的最小值为 ( )A.2 B.4 C.42 D.16【解析】选C.由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|，所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2，即x+2y=3，所以2x+4y=2x+22y≥22x+2y=223=42，当且仅当x=2y=32时，2x+4y取得最小值42.二、填空题(每小题4分，共8分)5.若复数z满足z=|z|-3-4i，则z=________ .【解析】设复数z=a+bi(a，b∈R)，则a=a2+b2-3且b=-4，解得a=76，b=-4，所以z=76-4i.答案：76-4i6.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x，y∈R)，z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x，y∈R).设z=z1-z2，且z=13-2i，则z1=________ ，z2=________ .【解析】z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i，所以5x-3y=13,x+4y=-2,解得x=2,y=-1,所以z1=5-9i，z2=-8-7i.答案：5-9i -8-7i三、解答题(共26分)7.(12分)计算：(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.8.(14分)复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，求点C对应的复数.【解析】因为对应的复数为1+2i，对应的复数为3-i.所以=-对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又因为=+，所以C点对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.(15分钟30分)1.(4分)ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|，则z对应的点是△ABC的 ( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】选A.设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心.2.(4分)(2019重庆高二检测)如果复数z=3+ai满足条件|z-2|<2，那么实数a的取值范围是 ( )A.(-22，22) B.(-2，2)C.(-1，1) D.(-3，3)【解析】选D.|z-2|<2即|1+ai|<2，所以a2+1<2，所以-3|z2|D.|z1|与|z2|不能比较大小【解析】选C.因为z1=-5+12i，z2=-6-63i，所以|z1|=(-5)2+122=13，|z2|=(-6)2+(63)2=12，所以|z1|>|z2|.3.(4分)已知复数z1=2+3i，z2=a-2+i，若|z1-z2|<|z1|，则实数a的取值范围是________. 【解析】由条件知z1-z2=(4-a)+2i.又因为|z1-z2|<|z1|，即(4-a)2+4<4+9，解得10，则实数m=______________. 【解析】z1+z2=(3m-1-2mi)+(-m+m2i)=(3m-1-m)+(m2-2m)i.因为z1+z2>0，所以z1+z2为实数且大于0，所以3m-1-m>0,m2-2m=0,3m-1≥0,解得m=2.答案：25.(14分)设复数z满足|z-3+4i|=|z+3-4i|，判断复数z在复平面上对应点的轨迹. 【解析】设z=x+yi，x，y∈R，由|z-3+4i|=|z+3-4i|得(x-3)2+(y+4)2=(x+3)2+(y-4)2，化简可得3x-4y=0，所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线.1.(2019渭南高二检测)已知z∈C，且|z-2-2i|=1，i是虚数单位，则|z+2-2i|的最小值是 ( )A.2 B.3 C.4 D.5【解题指南】考虑|z-2-2i|=1的几何意义，表示以(2，2)为圆心，以1为半径的圆，|z+2-2i|的最小值，就是圆上的点到(-2，2)距离的最小值，转化为圆心到(-2，2)距离与半径的差.【解析】选B.|z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2，2)的距离等于1的点的轨迹，即以点A(2，2)为圆心，以1为半径的圆C，|z+2-2i|的最小值，即圆C上的点到B(-2，2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.【变式探究】 把本题条件中|z-2-2i|与结论中|z+2-2i|互换，即已知z∈C，且|z+2-2i|=1，求|z-2-2i|的最小值.结果如何？【解析】设z=x+yi(x，y∈R)，则|(x+yi)+2-2i|=1，即|(x+2)+(y-2)i|=1，所以(x+2)2+(y-2)2=1，所以(x+2)2+(y-2)2=1，即复数z对应的复平面上的点Z在以(-2，2)为圆心，以1为半径的圆上，所以-3≤x≤-1.而|z-2-2i|=(x-2)2+(y-2)2=(x-2)2+1-(x+2)2=1-8x，因为-3≤x≤-1，所以当x=-1时，|z-2-2i|取最小值3.【一题多解】(几何法)|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，所以复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(-2，2)为圆心，以1为半径的圆. |z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z在复平面内的对应点到点(2，2)的距离，即圆上的点到点(2，2)的距离，最小值为圆心与点(2，2)的距离减去半径，易求得|z-2-2i|的最小值为3.2.在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，-1+2i. (1)求向量，，对应的复数.(2)判断△ABC的形状.(3)求△ABC的面积.【解析】(1)对应的复数为2+i-1=1+i，对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i，对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)因为||=2，||=10，||=8=22，所以||2+||2=||2，所以△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=12222=2.- 6 -。
