实数完备性基本定理等价性的证明摘要木文通过循环证明对实数完备性基木定理的等价性作出了证明. 关键词实数完备性基本定理等价性循环证明1引在这一节，主要对木文所用到的定义，定理及推论作以介绍.定义设闭区间列｛kA,］｝具有如下性质：（ii） lim（Z?,:-“J=0,则称｛k,人］｝为闭区间套，或简称区间套.确界原理设s为非空数集.若s有上界，则s必有上确界；若s有下界， 则s必有下确界.单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.区间套定理若是一个闭区间套，则在实数中存在唯一的一点使得 f e ［人，/?,, ］，/I = 1,2,…，即an <^0,存在N〉0,使得当n〉N时有［么，/?,,］（= U⑸）.有限覆盖定理设H为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖［a,b\.聚点定理实数轴上任一有限无界点集S至少有一个聚点.柯西收敛准则数列仏J收敛的充要条件是：对任给的>0 ,存在正整数N，使得当n，m>N时有an ~hn2六大基本定理等价性的证明木节就是对六大基木定理等价性的证明.首先列出证明过程的基木框架：确界原理 => 单调有界定理=> 区间套定理n u柯丙收敛准则 <=聚点定理 <=有限覆盖定理下面就是这个循环证明的过程.1 由确界原理证明单调有界定理证不妨设仏„;［为有上界的递增数列.由确界原理，数列有上确界.记a=sup 下面证明a就是仏J的极限.事实上，任给f > 0 ,按上确界的定义，存在数列忪J中某一项〜，使得a-〈 6^.又由kJ的递增性，当 n>N时有a- N时有a- < an OO n W且 ，" = 1,2，.... （3）联合（1）及（3）即得.aH<^ oo故有f f3 由区间套定理证明有限覆盖定理证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个幵区间来覆盖将［6Z，/7］等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开 区间来覆盖.记这个了•区间为［久払］，则［A，/?,］ C ［6/，/?］，且6 •再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中 有限个开区间来覆盖.记这个子区间为［%人］，则［2人］C匕卓］,且b2_a重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列｛k,，/A,］｝,它满足bn - an即加,,人,]}是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点f e [6Z,,丸],n=l,2,....由于H是[6!，川的一个开覆盖，故存在开区间（6Z，/?）eH ，使于是，由区间套定理推 论，当n充分大时有[6/,,A]c（汉，/?） •这表明[人，么]只须用H中的一个开区间（队夕）就能覆盖，与挑选[么，么]吋的 假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限 个开区间能覆盖[A/7].4由有限覆盖定理证明聚点定理证设A为有界无限点集.那么存在正数M>0 ,使得假设中任意点都不是A的聚点，则对任意一点xe 必存在相应的〉0使得在中至多有A的有限个点.记 //={u（x,<5）/xe[-M,A/]},则 H 为 A 的一个开覆盖.由有限覆盖定理，在H中可以找到有限个开区间覆盖记为 Hf = {u（xz,Si）/^. e [-MM],z = 1,2,• • •},从而更能覆盖 A.因/T内至多含有A中有限个点，从而A为有限点集，与假设“A是有界无限点集”矛盾.故区间中至少有一个集合A的聚点，即集合A至少有一个聚点.5由聚点定理证明柯西收敛准则证先证条件的必要性：设a;, ,则对任意给定的r>0,有一正整数N ,当k.〉N时，有\xk - “I < 營从而当m，n〉N时，有 |Xn - 伞:-6Z| + |6Z-XW|<-| + -| = 6*其次，证明条件的充分性：设数列仏满足条件：对任给正数r ,总存在某一个自然数N ,使得当 m, n〉N时，都有a,n~an < -取r二1 ,则存在自然数 ，当n〉％时，有从而令 M=max，…，〜J，Nx+\an — aNl+<1W,+l则对一切m = 1,2,…，有an\ = 1，2，...｝是有限集，则必有一常子列；若E为无限集，则由 聚点定理，E有一个聚点A.由聚点定义可证，存在么,｝，使limt/,,，= A • 总之，k,｝有收敛子列.设lim6z„ =A ,则对任给正数f，存在N ,当k，m，人一>OO kn〉N 时，有an~am\<-， ank ~A <--所以当n〉N （任取k〉N，使〉/i ）时，有么一人一〜.1 + 1%-^|<| + | = ^ - \man = A .n—>oo 6 用数列的柯西收敛准则证明确界原理证设S为原理非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数6Z, 存在整数屹，使得，为S的上界，而4-汉=(屹-1)^不是S的上界, 即存在^eS ,使得a >{ka-\)a .分别取丄，n = l，2,…，则对每一个正整数n，存在和应的人，使得人为 nS的上界，而人-丄不是S的上界，故存在Ye S,使得 n汉’〉乂" — • (5)n又对正整数m，人,是S的上界，故有人,2 c/’结合(5)式得人-人, < 丄；同 n理有4-人 <丄.从而得 mll—Ahmaxf 丄，丄).< m n J于是，对任给的.〉0，存在N〉0 ,使得当m，n〉N时有|UJ< •由柯西收敛准则，数列MJ收敛.记= Z. (6)n—>oo现在证明A就是S的上确界.首先，对任何aGS和正整数n有aA----=A-3 . 2 2式得a^，即A是的S —个上界.其次，对任何5〉0，由丄40(，74oo)及⑹式， 对充分大的n同吋有结合上式得又因人-丄不是S的上界， n这说明A为S的上确界.同理可证：若S为非空有下界数集，则必存在下确界.参考文献[1] 华东师范大学数学系编《数学分析》高等教育出版社2001年6月第 3 版 P,5 ^61-168[2] 复旦大学数学系陈传璋等编《数学分析》高等教育出版社1983 年7月第2版[3] 杨熙鹏邵子逊刘颖植主编《数学分析习题解析》陕西师范大学出 版社[4|钱吉林等主编《数学分析题解精粹》崇文书局2003年8月第1版The Proof on the Equivalent Relations in the Foundamental Theorems of Completeness of Real NumbersAbstract In this paper，we prove to the equivalent relations in the foundamental theorems of the completeness of real numbers by cyclic proof.Key words completeness of real numbers foundamental theorem equivalent relation cyclic proof附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢（关于进一 步加快精准扶贫工作意见）为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、 工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年， 实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全 面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面 建成小康社会进程中掉队。
总体要求:贫网村农村居民人均可支配收入年均增幅高于全县平 均水平5个百分点以上，遏制收入差距扩大趋势和贫困代际传递；贫 困村基本公井服务主要指标接近全县平均水平；实现扶贫对象“两不 愁三保障”（即：不愁吃、不愁穿，保障其义务教育、基本医疗和住 房）年度任务：2015 — 2017年全乡共减少农村贫网人口 844人，贫闲 发生率降至3%以下二、 精准识别（一）核准对象对匕经建档立卡的贫困户，以收入力依据再一 次进行核实，逐村逐户摸底排查和精确复核，核实后的名单要进行张 榜公示，对不符合政策条件的坚决予以排除，确保扶贫对象的真实性、 精准度建立精准识别责任承诺制，上报立卡的贫困户登记表必须经 村小组长、挂组村干部、挂点乡干部、乡领导签字确认，并作出承诺， 如扶贫对象不符合政策条件愿承担行政和法律责任，确保贫困户识别 精准）分类扶持通过精准识别建档立卡的贫困户分为黄卡户、红卡户和蓝卡户三类，第一类为黄卡户，是指有劳动能力，家庭经济 收入在贫困线边缘的贫困户；第二类为红卡户，是指有一定的劳动能 力，家庭贫困程度比较深的贫困户；第三类为蓝卡户，是指年老体弱 或因病因残丧失劳动能力的贫网户和五保户。
优先扶持黄卡户，集中 攻坚扶持红卡户脱贫，对蓝卡户则通过保障扶贫来保障其基本生活（三）挂图作业根据贫困户的实际情况，分三年制定脱贫规划 乡里将根据各村情况对每年精准脱贫任务落实到户到人，建立台账， 并用图表标注清楚，挂图作业，脱贫一户销号一户，做到“贫困在库， 脱贫出库”三、精准施策针对贫困村和建档立卡贫困户的实际情况，分清类别，分类施策， 强化措施，扎实推进各项扶贫政策落实到实处在抓好贫困村公共设 施和服务方面的建设同时要抓好对贫困户的帮扶，做到精准施策一）推进基础设施扶贫1. 对“十三五”扶持贫闲村25户以上的所有自然村，由规划所 牵头负责进行村庄建设规划2. 重点解决“最后一公里”的问题着力解决贫困群众最需要、 最期盼的交通、电力、水利、就医就学等方面“最后一公里”的问题， 让贫困群众享受均等的基本公共服务到2015年完成2个贫困村25 户以上自然村水泥路建设，确保到2016年底新一轮贫闲村中25户以 上自然村全部通水泥路；在调查摸底和充分征求意见的基础上，确保 到2016底全面完成农村贫困户土坯房和危旧住房的改造任务；灌溉 渠系建设和小山塘除险加固改造主要倾向贫困村，提高灌溉能力，到 2017底基本解决贫困村农村居民饮水安全和生产用水困难问题；每 年安排贫闲村至少一个“一事。