活用16个二级结论结论一 奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0. 例1 设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m= .答案 2解析 显然函数f(x)的定义域为R, f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.跟踪集训1.已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg 2)+flg12=( )A.-1 B.0 C.1 D.22.对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2结论二 函数周期性问题 已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=1f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2 已知定义在R上的函数f(x)满足fx+32=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f(2 018)=( )A.-2 B.-1 C.0 D.1答案 A解析 因为fx+32=-f(x),所以f(x+3)=-fx+32=f(x),所以f(x)的周期为3.则有f(1)=f(-2)=-1, f(2)=f(-1)=-1, f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f(2 018)=672[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=-1-1=-2,故选A.跟踪集训1.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.12.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x),x≤0,f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(100)=( )A.-1 B.0 C.1 D.2结论三 函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点a+b2,c2对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. 例3 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈12,1恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1] D.[-2,1]答案 B解析 由定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈12,1恒成立,由此排除A,C两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤12,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈12,1恒成立,由此排除D选项.综上可知,选B.跟踪集训1.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .结论四 反函数的图象与性质 若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0, f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上. 例4 若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )A.52 B.3 C.72 D.4答案 C解析 因为2x+2x=5,所以x+2x-1=52,同理,x+log2(x-1)=52,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=32的解,t2是t+log2t=32的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数y=2t与y=32-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=32-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,2t1),Q(t2,log2t2),所以P,Q关于直线y=t对称,且t1+t2=t1+2t1=t1+32-t1=32,所以x1+x2=t1+1+t2+1=32+2=72.故选C.跟踪集训 设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )A.1-ln 2 B.2(1-ln 2)C.1+ln 2 D.2(1+ln 2)结论五 两个经典不等式 (1)对数形式:xx+1≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5 设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时, f(x)≥xx+1.证明 x>-1时, f(x)≥xx+1⇔x>-1,1-e-x≥xx+1⇔1-xx+1≥e-x(x>-1)⇔1x+1≥1ex(x>-1)⇔x+1≤ex(x>-1).当x>-1时,ex≥x+1恒成立,所以当x>-1时, f(x)≥xx+1.跟踪集训1.已知函数f(x)=1ln(x+1)-x,则y=f(x)的图象大致为( )2.已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.结论六 三点共线的充要条件 设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP=λOA+μOB,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,OP=12OA+12OB.例6 已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为( )A.{-1} B.⌀ C.{0} D.{0,-1}答案 A解析 ∵BC=OC-OB,∴x2OA+xOB+OC-OB=0,即OC=-x2OA+(1-x)OB,∴-x2+(1-x)=1,解得x=0或x=-1(x=0舍去),∴x=-1.跟踪集训 在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若AB=λAM+μAN,则λ+μ= .结论七 三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|=a2sinA.(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.(3)O为△ABC的垂心⇔OAOB=OBOC=OCOA.(4)O为△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.例7 已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],λ∈R,则点P的轨迹一定经过( )A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心C.△ABC的重心 D.AB边的中点答案 C解析 取AB的中点D,则2OD=OA+OB,∵OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],∴OP=13[2(1-λ)OD+(1+2λ)OC]=2(1-λ)3OD+1+2λ3OC,而2(1-λ)3+1+2λ3=1,∴P,C,D三点共线,∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.跟踪集训1.P是△ABC所在平面内一点,若PAPB=PBPC=PCPA,则P是△ABC的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OB+OC2+λAP,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心结论八 等差数列 设Sn为等差数列{an}的前n项和.(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n⇒ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).(2)ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.(4)Snn=d2n+a1-d2是关于n的一次函数或常函数,数列Snn也是等差数列.(5)Sn=n(a1+an)2=n(a2+an-1)2=n(a3+an-2)2=….(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,S偶S奇=am+1am.(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,S奇S偶=mm-1.(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n).(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd. 例8 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6(2)等。