2011年第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（初中组）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1.计算: =. 解析：2.算式: 中的汉字代表0～9的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数字, 所代表的四位数是 8547 .解析：3.将12个小球放入编号为1至4的四个盒子中, 每个盒子中的小球数不小于盒子编号数, 那么共有 10 种不同的放法．解析：4.有一列数, 第一个数是10, 第二个数是20, 从第三个数开始, 每个数都是前面所有数的平均数, 那么第2011个数是 15 .解析：第一个数和第二个数的平均数则第三个数也是15.第四个数还是15 、由此可知后面的N个数都是15 ，则第2011个数还是15. 5.设是有理数, , 则P的最小值为 21 .解析：去绝对值符号 得到函数 ；由函数图像可知，当x=3是取得最小值，Pmin =216.将自然数1~22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数）, 在形成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有 10 个.解析：因为在1~22之间只有13、17、19没有相对应的倍数，所以三个数中只有一个数和1组成一个整数分数；其余的数都可以成相对应的整数分式，如：7.下面两串单项式各有2011个单项式:， 其中为非负整数, 则这两串单项式中共有 402 对同类项. 解析：8.将能被3整除、被5除余2、被11除余4的所有这种正整数依照从小到大的顺序排成一列, 记为. 如果, 则等于 13 . 解析：二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9.将9个各不相同的正整数填在33表格的格子中, 一个格子填一个数, 使得每个22子表格中四个数的和都恰好等于100. 求这9个正整数总和的最小值. 图1图2解析：我们可以在每一个小格子里设字母 由于A,B,C,D,F,G,H,I为各不相同的正整数， 有：因为S为整数，有S≥121． 另一方面，可以如图1填数使得S=121． 综上所述，表格中所填9个正整数总和的最小值为121．10.右图中, 平行四边形ABCD的面积等于1, F是BC上一点, AC与DF交于E, 已知, 则三角形CEF的面积是多少？解析：11.设为非零自然数, , 且满足方程: . 问的最大值等于多少？ 解析： 12.如图, 如果将梯形ABCD分割成 一个平行四边形ABCE和一个 三角形AED, AB=米, BC=米, CD=72米, AD=20米, 那么四边形ABCE，三角形AED，梯形ABCD的面积分别是多少平方米？解析：三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 在边长为1厘米的正方形ABCD中, 分别以A, B, C, D为圆心, 1厘米为半径画圆弧, 交点E, F, G, H, 如图所示. 求中间阴影六边形BEFDGH的面积. 解析：如图，连接AF, AE, 则都是顶角为，两腰为1厘米的等腰三角形.其面积相等.自点F作于P. 则因此三角形ADF的面积 所以五边形ABEFD的面积=（平方厘米）. 同理，五边形BCDGH的面积=（平方厘米）.而正方形ABCD的面积为1平方厘米. 由面积重叠原理可知，重叠部分为阴影六边形BEFDGH，它的面积为（平方厘米）.14.已知, 是否存在整数使得为完全平方数？如果存在, 求出整数；若不存在, 请说明理由.解析：若存在整数使得为完全平方数，则设存在正整数使得：.因为，所以.所以.所以.即.因为与的奇偶性相同，且2是偶数，所以与都是偶数.因为是4的倍数，但是2不是4的倍数，矛盾！所以不存在整数使得为完全平方数.。