一、教学内容：二次根式的乘除1. 二次根式的乘除法则．2. 最简二次根式的定义．二. 知识要点：1. 一般地，对二次根式的乘法规定：＝（a≥0，b≥0）．把＝反过来，就得到＝，利用它可以进行二次根式的化简．化简时应注意：（1）一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．（2）在计算的过程中既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质进行化简．2. 一般地，对二次根式的除法规定：＝（a≥0，b＞0）．把＝反过来，就得到＝（a≥0，b＞0），利用它可以进行二次根式的化简．3. 最简二次根式（1）定义：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（2）将一个二次根式化简实际上就是将它化成最简二次根式．有以下两种情况：①如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以将二次根式的除法转化为商的算术平方根的形式进行计算．也可以先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再利用＝＝（a≥0，b＞0）化简．②如果被开方数不含分母，可以先将它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．三. 重点难点：掌握和应用二次根式的乘法和除法是本讲重点，难点是正确进行二次根式的化简．【典型例题】例1. 计算：（1）；（2）．分析：（1）直接应用＝（a≥0，b≥0）计算，结果中将被开方数能开尽方的因式（数）开方后移到根号外面．（2）应用计算。
解：（1）＝＝＝3．（2）＝＝＝357＝105．评析：三个或三个以上的二次根式相乘，同样是被开方数相乘作为被开方数；在被开方数相乘时，要考虑到化简时因数分解，如直接得再来分解就麻烦了；说明无理数相乘的结果可能是无理数，也可能是有理数．例2. 利用二次根式的性质＝（a≥0，b＞0）进行化简．（1）；（2）；（3）．分析：（1）题中的带分数化成假分数；（2）题直接应用性质化简；（3）题先将分母化简，再化去分母中的根号．解：（1）＝＝；（2）＝＝＝＝；（3）＝＝＝＝．评析：（1）按课本约定，题中字母a、b、c、x、y均为正数，可以直接应用二次根式的性质＝a（a≥0）；（2）化去分母中的根号时，一般先把分子、分母中的根式化简，再约分，最后分子、分母同乘一个适当的式子（如（3）题中的）化去根号；（3）题还可以这样做＝＝＝＝＝．例3. 把下列各式化成最简二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）－．分析：600＝6102，1000＝10102，27＝332，a3＝aa2等，先把这些数分解，然后把能开尽方的开方后移到根号前面，最后化去根号下的分母．解：（1）＝＝10；（2）＝＝＝；（3）＝＝3ab；（4）－＝－＝－＝－＝－．评析：有关二次根式的运算结果都要化简为最简二次根式（或有理式），化简的主要方法有；（1）将被开方数中能开尽方的因式开方后写在根号外；（2）被开方数有分母的用性质＝（a≥0，b＞0）转化后，化去分母的根号．例4. 用简便方法计算．（1）－6（－4）；（2）；（3）；（4）3c．分析：（1）先确定符号，用乘法交换律、结合律将两系数与两根式分别相乘；（2）中被开方数是两个负数之积，化成6481；（3）应用平方差公式较方便；（4）宜将除法转化为乘法（颠倒相乘）．解：（1）－6（－4）＝64＝24＝2434＝288；另解：－6（－4）＝－6（－4）＝－63（－4）4＝288；（2）＝＝＝89＝72；（3）＝＝＝＝1311＝143；（4）3c＝3c＝3c＝2c＝2c＝a．评析：（1）二次根式的乘除法同整式的乘除法类似，把根号前面的数看成系数；（2）以前学过的运算律、方法与技巧都适用于二次根式，特别是乘法公式的运用，可以简化很多运算；（3）注意≠．例5. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2，AC＝2，求BC的长．分析：应用勾股定理BC＝．解：∵∠C＝90，∴BC2＝AB2－AC2＝（2）2－（2）2＝52－24＝28．∴BC＝＝2．评析：学过本节知识后，勾股定理的应用就更方便了，几乎涉及勾股定理的计算问题都要用到二次根式知识．例6. 比较两个根式的大小．（1）7和6；（2）－5和－6．分析：（1）题先比较两数的平方的大小；（2）题先比较两个数的绝对值的大小．解：（1）∵（7）2＝72（）2＝496＝294，（6）2＝62（）2＝367＝252，且7＞0，6＞0，294＞252，∴7＞6．（2）∵（5）2＝25（）2＝256＝150．（6）2＝62（）2＝365＝180，且5＞0，6＞0，180＞150，∴6＞5，∴－5＞－6．评析：比较两个二次根式的大小时，可以先看符号，根据正数＞0＞负数判断．对于两个正的二次根式比较，可以先比较它们的平方．这里用到了如果a2＞b2，且a＞0，b＞0，则a＞b，本题还可用“如果a＞b＞0，那么＞”解题．【方法总结】1. 几个二次根式（包括三个或三个以上）相乘，将被开方数相乘，把积尽量写成乘方的积的形式，再化简．2. 最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因式或因数．3. 二次根式的运算要化简，结果应该为最简二次根式（且分母中不能有根号）或有理数．4. 将分母中的根号化去的方法是化简分子、分母中的根式，再将分子、分母同乘一个适当的式子（通常是与分母中的根式相同的二次根式），从而化去根号，有时也可以用约分的方法．5. 将二次根式化为最简二次根式的方法：（1）把开得尽的因式（数）开方后写在根号前面；（2）根号内有分母用＝（a≥0，b＞0）化成分式形式，用化去分母中的根号的方法化简．【预习导学案】（二次根式的加减）一. 预习前知1. 合并下列各组中的同类项：（1）3a，－2a；（2）a2b，－3a2b；（3）3x2y，－8x2y．2. 化简下列二次根式，你有什么发现？（1），；（2），－；（3），，．3. 请你用字母表示乘法分配律：__________．4. 写出所学过的两个乘法公式：（1）平方差公式：__________；（2）完全平方公式：__________．二. 预习导学1. 二次根式加减的运算方法是__________．2. 试计算下列各题：（1）6－2；（2）＋；（3）3－；（4）（＋1）（－1）．3. 如图所示，两根高分别为4m和7m的竹竿相距6m，一根绳子拉直系在两根竹竿的顶端，问两竹竿顶端间的绳子有多长？反思：（1）整式加减中的运算顺序及法则在二次根式加减运算中仍然适用．（2）如果题目中不仅有加法，还有乘法，并且含有小括号，该如何计算？根据是什么？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 化简的结果是（ ）A. 5 B. 2 C. 2 D. 42. 下列各式成立的是（ ）A. 42＝8 B. 54＝20C. 43＝7 D. 54＝203. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 4. 化简等于（ ）A. 5 B. C. D. 5. 下列计算中正确的是（ ）A. 8＋2＝16 B. 55＝25C. 4＋2＝8 D. 42＝86. 下列各式中的最简二次根式是（ ）A. B. C. D. *7. 等式＝成立的条件是（ ）A. x≥1 B. x≥－1 C. －1≤x≤1 D. x≥1或x≤－1*8. 下列等式成立的是（ ）A. ＝＝10B. ＝＝＝2C. ＝＝10D. ＝15－14＝1二. 填空题1. 化简：＝__________．2. 计算：＝__________．3. 化简：＝__________．4. 计算：＝__________．三. 解答题1. 计算．（1）；（2）－2；（3）2（－2）；（4）（＋）．2. 化简：（1）；（2）；（3）；（4）．3. 把下列各式化成最简二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2ab3．**4. 已知2x＝，求x的值．*5. 第一个正方形的面积等于27cm2，第二个正方形的面积为3cm2，问第一个正方形的边长是第二个正方形边长的几倍？**6. 把下列各式的分母中的根号化去或将根号内的分母移到根号外．（1）；（2）． 试题答案一. 选择题1. B 2. D 3. B 4. D 5. B 6. B 7. A 8. C二. 填空题1. 10 2. 3. 4. 3三. 解答题1. （1）；（2）－3；（3）－20；（4）62. （1）30；（2）12；（3）；（4）3. （1）；（2）ab2；（3）a；（4）；（5）12a3b4. x＝5. 根据题意＝3（倍）6. （1）；（2）。