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1、山东省德州市夏津第一中学2020届高三数学上学期12月月考试题（含解析）一、单项选择题1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出中不等式的解集确定出，及中的范围确定出，确定出集合的补集再求出即可.【详解】因为集合，则，又，所以.故选：.【点睛】此题考查了交集、补集及其运算,熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，是基础题.2.若复数为纯虚数，则（ ）A. B. 2C. 5D. 【答案】D【解析】【分析】把给出的复数化简,然后由实部等于，虚部不等于求解的值，最后代入模的公式求模.【详解】由，因为复数为纯虚数，解得,所以故选:.【点睛】本题考查了复数代数形式
2、的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法,是基础题.3.下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的图像与性质,结合中间值法即可比较大小.【详解】对于,由对数函数的图像与性质可知对于,由指数函数的图像与性质可知对于,由指数函数的图像与性质可知综上可知, 故选:A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,函数值的大小比较,属于基础题.4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用奇函数画出函数图像，同时画出的图像，
3、结合图像即可得出.【详解】为上的奇函数，所以如图，画出在的图象，得点、点在上，画出的图象，得到其渐近线为，且在第一象限与的图象交点为，要解不等式，则结合图象，需的图象在图象的上方，从而解得:.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数奇偶性，单调性的应用，以及指数函数的性质应用，数型结合的应用，是中档题.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式计算可得.【详解】， .故选：.【点睛】本题主要考查的是诱导公式，二倍角公式的应用，考查学生的计算能力，是基础题.6.数列，满足，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意
4、是数列是等差数列，数列的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前项和公式即可求得.【详解】因为，所以数列是等差数列，数列的等比数列，因此，数列的前项和为：.故选：.【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.7.第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有，5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且和是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了1人的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意,首先和看成一个整体再根据每个体育馆至少安排一人，计算所
5、有的基本事件，再计算甲体育馆恰好安排了1人含的基本事件个数，由等可能事件的概率公式,计算可得答案.【详解】因为和是同学需分配到同一体育馆，所以把看成一个元素，又每个体育馆至少安排一人，所有的基本事件有，甲体育馆恰好安排了1人的基本事件有,甲体育馆恰好安排了1人的概率为.故选：.【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率公式，考查带有限制条件的元素的排列组合问题，考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，是中档题.8.设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图过作准线的垂线，垂
6、足分别为 又 由拋物线定义 由 知， 把 代入上式，求得 故故选A二、多选题9.定义新运算，当时，；当时，则函数，的值可以等于（ ）A. B. 1C. 6D. 【答案】BCD【解析】【分析】先根据题意算出函数的表达式，再算出函数的值域，即可得答案.【详解】由题意知，易知函数在上单调递增，所以，所以函数，的值可以等于为.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数的单调性和函数的值域的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.10.已知两条直线，及三个平面，则的充分条件是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】ABC【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断.【详解】由面面垂直
7、定理可以判断正确，对于选项，也可以得到，故错.故选：.【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.11.已知函数（其中，的部分图象，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调增D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和为【答案】BCD【解析】【分析】根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.【详解】由函数（其中，）的图像可得：，因此,所以，过点，因此，又，所以，当时，故错；当时，故正确；当，所以在上单调递增，故正确；当时，所以与函数有的交点的横
8、坐标为 ，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.12.已知函数，下列四个命题正确的是（ ）A. 函数为偶函数B. 若，其中，则C. 函数在上为单调递增函数D. 若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的奇偶性定义，函数性质、对数函数的性质，以及作差法，可以判断.详解】函数对于，所以函数为偶函数，故正确；对于，若，其中，所以，即，得到，故正确；对于，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故错误；对于，因为，故，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数的性质以及对数函数性质的应用，作差
9、法的应用，考查学生的分析问题的能力，和计算能力，是中档题.三、填空题13.已知向量若向量，则_【答案】【解析】【分析】由向量的差的坐标运算可得：，由两向量平行的坐标运算得：，运算即可得解.【详解】解：向量，故答案为：【点睛】本题考查了两向量平行的坐标运算，属基础题.14.某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：_.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）【答案】无【
10、解析】【分析】可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可【详解】如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，则，所以为等腰三角形。，又，所以，所以渔船没有触礁的危险故答案为：无【点睛】本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题15.如图，在三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长，、分别为棱、的中点，并且，则异面直线与所成角为_；三棱锥的外接球的体积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意得出三棱锥是正三棱锥，易证出平面，再根据，可得，从而得出异面直线与所成角；判断出三棱锥是正方体的一部分，从而得出球的直径，即
11、可得出球的体积.【详解】由三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长知，三棱锥是正三棱锥，则点在底面中的投影为底面的中心，为中点如图，因此,所以平面,平面,又、分别为棱、的中点，则,因此，异面直线与所成角为；,平面,又，则平面,又三棱锥是正三棱锥，因此三棱锥可以看成正方体的一部分且为正方体的四个顶点，故球的直径为，则球的体积为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查的是异面直线所成角，线面垂直的判定定理，以及球的体积，考查学生的理解能力，是中档题.16.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_.【答案】【解析】【分析】先证明是正三角形
12、，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为，从而可得结果.【详解】由题意，得，另一个焦点，由对称性知，又因为线段的垂直平分线经过点，则，可得是正三角形，如图所示，连接，则，由图象的对称性可知，又因为是等腰三角形，则，在中，由余弦定理：，上式可化为，整理得：，即，由于，则，故，故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用
13、其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.四、解答题17.已知函数，将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图像.（1）当时，求的值域；（2）已知锐角的内角、的对边分别为、，若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）现根据平移法则求得，再求值域即可；（2）由求得，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积.【详解】（1），将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，得到
14、；然后向左平移个单位，得到；再向上平移个单位，得到，当， ，（2）或（由题意三角形为锐角三角形，故舍去），又，代入得bc=3,则【点睛】本题考查三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法则，正弦定理余弦定理结合求面积，属于基础题18.已知是各项为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项（1）设，求证：是等差数列；（2）若，（）求数列的前项和；（）求数列的前项和【答案】（1）证明见解析(2) （）（）【解析】【分析】(1)根据等差数列定义即可证明；(2)()求出数列的通项，再利用并项求和即可得出；（）求出数列的通项，再利用裂项求和即可得出.【详解】（1）证明：是和等比中项，所以是等差数列（2）由（1）可得，（）知，数列的前项和；（）因为，.【点睛】本题主要考查等差定义的应用，等差数列通项公式，数列求和的并项求和、裂
