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1、云南省民族大学附属中学云南省民族大学附属中学 20192019 届高三数学上学期期中试题届高三数学上学期期中试题 文文 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。 第卷第卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）符合要求的） 1已知集合A1，2，3，By|y2x
2、1，xA，则AB A1，3 B1，2 C2，3 D1，2，3 2已知 i 是虚数单位，若复数z满足zi1i，则z2 A2i B2i C2 D2 3在等比数列an中，若a1b0)的左、右焦点，点P(1，32)在椭圆E上，且|PF1|PF2|4 (1)求椭圆E的方程； (2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得1|AC|，1|BD|成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 21 （本题满分 12 分） 已知函数f(x)exax(aR R，e 为自然对数的底数) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若a1，函数g(x)(xm)f(x)ex
3、x2x在(2，)上为增函数，求实数m的取值范围 请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分作作答时请写答时请写清题号清题号 22 （本题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C A B C D E P 的极坐标方程为2cos ，0，2 (1)求C的参数方程； (2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标 23 （本题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选
4、讲】 已知函数f(x)|3x2| (1)解不等式|x1|f(x)； (2)已知mn1(m，n0)，若|xa|f(x)1m1n(a0)恒成立，求实数a的取值范围 2016 级高三(上)期中考试数学(答案)(文) 一 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C B B B A D D D D C 二 题号 13 14 15 16 答案 6 2 94 100 三 17解 (1)因为 sin2AsinAsinB6sin2B0，sinB0， 所以sinAsinB2sinAsinB60，得sinAsinB2 或sinAsinB3(舍去) 由正弦定理得absinAsinB2
5、. (2)由余弦定理得 cosCa2b2c22ab34. 将ab2，即a2b代入，得 5b2c23b2， 得c 2b. 由余弦定理 cosBa2c2b22ac，得 cosBb22b2b222b 2b5 28， 则 sinB 1cos2B148. 18解 (1)设“甲获得优惠券”为事件A 因为假定指针停在任一位置都是等可能的， 而题中所给的三部分区域的面积相等， 所以指针停在 20 元，10 元，0 元区域内的概率都是13. 2 分 顾客甲获得优惠券， 是指指针停在 20 元或 10 元区域， 所以甲获得优惠券面额大于 0 元的概率为 P(A)131323. 5 分 (2)设“乙获得的优惠券金额
6、不低于 20 元”为事件B 因为顾客乙转动转盘两次， 设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x元， 第二次获得优惠券的金额为y元，则基本事件空间为 (20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)，即中含有 9 个基本事件，每个基本事件发生的概率都为19. 8 分 而乙获得的优惠券金额不低于 20 元，是指xy20，所以事件B中包含的基本事件有 6个. 10 分 所以乙获得的优惠券金额不低于 20 元的概率为 P(B)6923. 12 分 19(1)证明：如图 3，连接AC交BD于O点，连接EO， 四边形ABCD是
7、菱形， AOCO， E为PC中点， EOPA， PA平面ABCD， EO 平面ABCD， EO 平面BED，平面BED 平面ABCD （6 分） (2)解：四边形ABCD是边长为 2 的菱形， 3BODO EO 平面ABCD， EOBD，BEDE 90BED，3EO ，2 3PA ， E BDPP ABCDP ABDE BCDVVVV 1111111323232BDAC PABDAOPABD COEOgggggggggggg （12 分） 20解 (1)|PF1|PF2|4， 图 3 2a4，a2. 椭圆E：x24y2b21. 将P(1，32)代入可得b23， 椭圆E的方程为x24y231.
8、(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|1|BD|1314712； 当AC的斜率k存在且k0 时，AC的方程为yk(x1)， 代入椭圆方程x24y231，并化简得(34k2)x28k2x4k2120. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则x1x28k234k2，x1x24k21234k2. |AC| 1k2|x1x2| k2x1x224x1x2k234k2. 直线BD的斜率为1k， |BD|1211k231k2k23k24. 1|AC|1|BD|34k2k23k24k2712. 综上，21|AC|1|BD|712， 724. 故存在常数724，使得1|AC|，1|BD|成等差数列
9、 21解 (1)函数f(x)的定义域为 R R，f(x)exa. 当a0 时，f(x)0，f(x)在 R R 上为增函数； 当a0 时，由f(x)0 得xln a， 则当x(，ln a)时，f(x)0，函数f(x)在(，ln a)上为减函数， 当x(ln a，)时，f(x)0，函数f(x)在(ln a，)上为增函数 (2)当a1 时，g(x)(xm)(exx)exx2x， g(x)在(2，)上为增函数， g(x)xexmexm10 在(2，)上恒成立， 即mxex1ex1在(2，)上恒成立， 令h(x)xex1ex1，x(2，)， h(x)（ex）2xex2ex（ex1）2ex（exx2）（e
10、x1）2. 令L(x)exx2，L(x)ex10 在(2，)上恒成立， 即L(x)exx2 在(2，)上为增函数， 即L(x)L(2)e240，h(x)0， 即h(x)xex1ex1在(2，)上为增函数， h(x)h(2)2e21e21， m2e21e21. 所以实数m的取值范围是，2e21e21. 22解 (1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1) 可得C的参数方程为 x1cos t，ysin t(t为参数，0t). 4 分 (2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直， 所以直线CD与l的斜率相同，tan t 3，t3. 8 分 故D的直角坐标为1cos 3，sin 3， 即32，32. 10 分 23解 (1)依题设，得|x1|3x2|， 所以(x1)2(3x2)2，则x14或x32， 故原不等式的解集为x x14或x32.4 分 (2)因为mn1(m0，n0)， 所以1m1n(mn)1m1n2mnnm4， 当且仅当mn12时，等号成立 令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2| 2x2a，x23，4x2a，23xa，2x2a，xa， 8 分 则x23时，g(x)取得最大值23a， 要使不等式恒成立，只需g(x)max23a4. 解得a103. 又a0，因此 0a103. 10 分
